9. Режим автоколебаний в нелинейной аср. Условие возникновения автоколебаний. Теорема Гольдфарба.

- условие автоколебаний.

Теорема Гольдфарба:

- отрицательная обратная амплитудная передаточная функция нелинейного элемента.

Или в другой форме:

При исследовании нелинейных систем используется одна из двух форм записи. Теорема очень удобно иллюстрируется графически.

Т очки пересечения характеризуют предельный цикл. Предельные циклы могут быть устойчивыми, а могут быть не устойчивыми.

Если отрицательная обратная амплитудная характеристика при увеличении амплитуды пересекает АФЧХ линейной части и при этом выходит из охватываемой ей области, то такой предельный цикл будет устойчивым.

Параметры автоколебаний могут быть найдены и аналитически. Очевидно, что точка пересечения соответствует условию, когда вещественные и мнимые части характеристик соответственно равны друг другу. Таким образом, если в общем виде

w _лч(j ) = Re₁() + Jm₁() ,

- Z_нэ(A_m) = Re₂(A_m) + Jm₂(A_m) ,

то решение системы уравнений

Re₁() = Re₂(A_m) ,

Jm₁() = Jm₂(A_m)

относительно  и A_m позволит получить искомые параметры автоколеба­ний.

12. Устойчивость нелинейных систем. Критерий абсолютной устойчивости в.М. Попова.

Нелинейные системы могут быть устойчивыми «в малом», когда начальные условия (воздействия) не выводят отклонения управляемой величины У в переходном процессе за определенное значение А, и неустойчивыми «в большом», если эти отклонения превышают значения А.

Процессы в нелинейной системе

Величина А, которая является своего рода границей устойчи­вости по начальному условию, может быть большой или малой. В зависимости от этого различают:

1) устойчивость «в малом» (величина А мала);

2) устойчивость «в большом» (величина А большая, но ко­нечна);

3) устойчивость «в целом» (величина А не ограничена). Для линейных систем устойчивость «в малом», «в большом» и «в целом» имела место одновременно.

Совокупность двух состояний (равновесие и автоколебания) в зависимости от величины начальных условий может давать различные виды процессов в нелинейных системах.

Кроме того, для нелинейных систем вводится понятие абсолютной устойчивости, т. е. устойчивость положения равно­весия «в целом», имеющей место при любых безынерционных нелинейных элементах с характеристиками, принадлежащими определенному классу.

Понятие и критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова.

Теорема только для систем с 1 НЭ. Характеристика НЭ должна быть симметрична и однозначна. Линейная часть должна быть устойчивой, но допускается передаточной функции иметь полюса до 2. Под абсолютной устойчивостью понимается устойчивость «в целом» нелинейной системы при задании ее нелинейности принадлежностью к определенному классу.

Для определения устойчивости по этому критерию используется модифицированная частотная характеристика линейной части : . Нелинейная система будет абсолютно устойчива если прямая проведенная через точку не пересекает модифицированную АФЧХ линейной части.

Статическая характеристика нелинейного звена

Наиболее распространенным и простым является задание статической нелинейной характеристики тем, что она должна находиться в определенном углу между осью абсцисс и некоторой прямой. При этом конкретная форма характеристики может быть любой.