Колебания физического маятника

Рассмотрим тело, имеющее закрепленную ось вращения O (рис. 4). В состоянии равновесия центр масс этого тела C будет находиться ниже точки O на одной с ней вертикали. Если отклонить тело от положения равновесия на некоторый угол , то оно будет колебаться. Такое тело называется физическим маятником.

На тело действует сила тяжести , момент которой равен , где — плечо этой силы относительно оси O, b — расстояние от оси O до центра масс C. Сила реакции опоры приложена к точке O, поэтому плечо этой силы и ее момент равны нулю. Таким образом, если пренебречь трением, то на тело действует единственный вращающий момент — момент силы тяжести.

Основное уравнение вращательного движения (6) запишется так:

,

где — угловое ускорение. Допустим, что тело может, вращаясь вокруг оси O, совершать лишь малые колебания. Тогда ввиду малости угла  (угол выражается в радианах) , и уравнение вращательного движения примет вид

.

Приведем эту формулу к виду

(9) .

Уравнение такого вида описывает гармонические колебания, т. е. его решение имеет вид

(

Рис. 4.

10) ,

где амплитуда колебаний и начальная фаза  могут быть произвольными, а круговая частота должна быть найдена из уравнения (9). Для нахождения возьмем  в виде (10), дважды продифференцируем это выражение по времени и подставим в (9). Тогда получим:

.

Сократив , получим .

Так как период колебаний — это время, за которое фаза в (10) изменится на 2, то .

Тогда окончательно:

(11) .

Описание работы

Установка представляет собой колесо, к которому прикрепляется небольшой шарик (рис. 5). Колесо может свободно вращаться вокруг оси. В частности, оно может совершать колебания около этой оси и тогда представляет собой физический маятник. Для нахождения момента инерции колеса можно воспользоваться формулой для периода колебаний физического маятника (11), если в этой формуле общий момент инерции колеса и шарика

,

их общая масса , m — масса шарика, b — расстояние от оси колеса до общего центра масс колеса и шарика. Для нахождения b воспользуемся формулой для координаты центра масс:

,

где — координаты соответственно общего центра масс, центра шарика и центра колеса. Если начало координат находится на оси колеса, то ввиду симметрии, по обозначению, — расстояние от оси колеса до центра шарика, равное сумме радиусов колеса и шарика. Тогда искомое расстояние от оси колеса до общего центра масс равно

.

Рис. 5.

Подставив b, I, M в формулу (11), получим выражение для периода колебаний колеса с шариком:

(12) .

Разрешив уравнение относительно , получим

(13) .

Момент инерции шарика равен , где R — радиус шарика, — его момент инерции относительно оси, проходящей через центр шарика, а — добавка по теореме Штейнера. Тогда формула (13) примет окончательный вид

(14) ,

где (r — радиус колеса).

Обычно для нахождения массу шарика m определяют на технических весах, радиус колеса и радиус шарика R — при помощи штангенциркуля. В нашей работе следует взять массу шарика равной 501 г, а размеры шарика и колеса определить при помощи линейки, помещенной на экран, которую можно перемещать с помощью «мышки».

Для нахождения периода колебаний T измеряют время или более полных колебаний несколько раз (5 или более) и вычисляют среднее время , а затем средний период колебаний . Погрешность измерения времени секундомером обычно находят по формуле

,

где систематическая погрешность измерения времени принимается равной (главным образом из-за запаздывания реакции экспериментатора), а случайная погрешность следует вычислить как среднеквадратическое отклонение

,

где N — число измерений.

Погрешность измерения периода в n раз (n — число колебаний) меньше, то есть .

Итоговая погрешность измерения момента инерции колеса запишется в виде

,

где

,

, ,

а, в свою очередь, .

В этих формулах погрешность измерения массы на технических весах принимается равной доле грамма или даже целому грамму (возьмите равной 1 г). Погрешность измерения радиусов линейкой и равна 1-2 мм. Для нахождения радиусов измеряются диаметры тел.