Механика

Лабораторная работа

Определение момента инерции однородного диска методом колебаний

Цель работы: изучение законов вращательного и колебательного движения; определение момента инерции диска методом колебаний.

Момент силы относительно оси

Рассмотрим тело, имеющее закрепленную ось вращения (рис.1). На тело пусть действует сила в плоскости, перпендикулярной этой оси. Силу можно разложить на две составляющие, одна из которых действует вдоль прямой, проходящей через ось. Эта сила не влияет на вращение тела, а может лишь его деформировать. Другая составляющая перпендикулярна оси, именно эта сила заставляет тело изменить состояние своего вращения. Чем больше расстояние от оси вращения до точки приложения силы, тем легче заставить тело вращаться. Поэтому при изучении вращательного движения играет роль не сама сила, а величина, называемая моментом силы относительно оси, равная .

Из рис. 1 видно, что , то есть

(1) ,

где величина — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы , называемое плечом этой силы.

Таким образом, моментом силы относительно оси вращения называется произведение величины этой силы на ее плечо.

Если на тело с закрепленной осью действует несколько сил, которые стремятся повернуть тело в разные стороны, то их моменты имеют противоположные знаки.

Основное уравнение вращательного движения

Пусть частица массы m движется по окружности радиуса r. Второй закон Ньютона для частицы запишется в виде

,

где — результирующая сила.

В проекции на касательную уравнение перепишется:

,

где — касательная проекция силы (рис. 1). Угловая скорость  и линейная скорость v связаны соотношением:

.

Тогда уравнение примет вид

.

Умножим левую и правую части на r и воспользуемся тем, что — момент силы относительно оси вращения, тогда уравнение примет вид

(2) ,

где M — момент результирующей силы , равный сумме моментов сил, действующих на частицу.

Рассмотрим теперь твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OO (рис. 2). При вращении каждая из малых частиц, на которые можно разбить это тело, движется по своей окружности, причем радиусы этих окружностей различны, а угловая скорость вращения одинакова. Тогда для каждой частицы тела можно записать уравнение типа (2). Система этих уравнений примет вид

(3)

где — масса i-й частицы, — ее расстояние до оси, — момент внешних сил, т. е. сил, действующих на i-ю частицу со стороны других тел, — момент силы, действующей на i-ю частицу со стороны j-й, N — полное число частиц, на которые мы разбили тело.

По третьему закону Ньютона сила, с которой на частицу i действует частица j, равна и противоположно направлена силе, с которой частица i действует на частицу j, то есть (см. рис. 2). Линия действия этих сил общая, поэтому и плечо h у этих сил одинаково (см. рис. 2), то есть .

Если теперь просуммируем левые и правые части уравнений системы (3), то получим:

(

Рис. 2.

4) .

Сумма моментов всех сил взаимодействия между частицами обратится в нуль ( и т. д.).

Введем величину

(5) ,

которую называют моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Тогда уравнение (4) запишется в виде

(6) ,

где — суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело. Уравнение (6) называют основным уравнением вращательного движения. Оно играет для вращательного движения ту же роль что и уравнения второго закона Ньютона для поступательного. Из уравнения (6) видно, что момент инерции является мерой инертности для вращательного движения, т. е. если у тела велик момент инерции I, при постоянном моменте сил оно приобретает малое угловое ускорение . Таким образом, тело с большим моментом инерции трудно раскрутить, но трудно и остановить, его инертность велика. Тело же с малым моментом инерции легко раскрутить, но и легко остановить.

Нужно отметить, что определение момента инерции тела по формуле (5) является приближенным, так как число частиц, на которые разбивается тело, в этой формуле конечно. Следует устремить размер таких частиц к нулю, а число их к бесконечности и совершить в формуле (5) переход от суммы к интегралу:

(7) ,

где интегрирование осуществляется по всему объему тела.

Ясно, что момент инерции данного тела зависит от распределения масс в этом теле относительно оси вращения, а не просто от общей массы тела. Так, например, если взять два одинаковых по размерам и массе цилиндра, один из которых сплошной, а другой пустотелый, то у пустотелого цилиндра момент инерции относительно оси симметрии больше, так как его участки расположены в среднем на больших расстояниях от оси вращения, а в формулу (7) расстояние входит в квадрате.

Момент инерции одного и того же тела зависит от положения оси вращения. Например, момент инерции цилиндра относительно периферийной оси больше, чем для оси, проходящей через центр масс, так как часть частиц цилиндра находится от периферийной оси на больших расстояниях, давая большие вклады, пропорциональные квадрату расстояния, в суммарный момент инерции.

Теорема Штейнера — Гюйгенса

Эта теорема связывает моменты инерции одного и того же тела относительно параллельных друг другу осей, одна из которых проходит через центр масс тела (например, оси OO и O₁O₁ на рис. 3). Докажем ее. Возьмем произвольное твердое тело (см. рис. 3).

Рис. 3.

C — его центр масс, а ось OO проходит через точку C. Ось O₁O₁ параллельна оси OO, расстояние между осями равно a. Разобьем данное тело на элементарные участки. — масса участка с номером i, — кратчайшее расстояние от этого участка до оси OO, а — расстояние до оси O₁O₁. По теореме косинусов

,

где — координата X материальной точки (начало координат выбрано на оси OO). Тогда момент инерции относительно оси O₁O₁

.

Введем обозначения: — масса тела; — координата центра масс.

Так как — центр масс тела находится на оси OO, то последнее слагаемое окажется . И момент инерции тела будет равен

(8) ,

где — момент инерции этого тела относительно оси OO. Формула (8) выражает содержание теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Теорема Штейнера применяется при вычислении моментов инерции тел.