Решение:
Если , то решений нет. Если , то . Если , то , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , из уравнения получаем:
.
Ответ: ; .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С2 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение:
Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.
где O — центр основания, значит, — средняя линия треугольника ASO потому — AO. Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:
Из прямоугольного треугольника находим:
Значит, искомый угол равен Ответ:
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С3 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. |
2 |
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Решите неравенство .
Решение:
Выполним преобразования:
; .
Сделаем замену: . Получим: , откуда
; .
Решая это неравенство, находим: или . Если , то или . Если , то или . Ответ: .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С4 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Четырехугольник KLMP описан около окружности и вписан В окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.
Решение:
Лучи KL и NM пересекаются в точке P (см. рисунок).
Центры и О окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP соответственно, лежат на биссектрисе МО угла KPN. Окружность, вписанная в четырехугольник KLMP, является также окружностью, вписанной в треугольник KPN и вневписанной окружностью треугольника LMP. Четырехугольник KLMP вписан в окружность, следовательно . Но , откуда . Так как треугольники KPN и LMP имеют еще общий угол KPN, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники. Далее имеем: 1) (*); 2) , где p — полупериметр треугольника LPM равный длине отрезка AP; 3) из прямоугольного треугольника ОAP находим , откуда . Подставляя найденное в формулу (*), окончательно получаем
.
Ответ: .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С5 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
4 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. |
3 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. |
2 |
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
При каждом а решите систему уравнении