Решение:

Уравнение равносильно системе

Уравнение системы приводится к виду , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , получаем: . Ответ: .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С2	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено.	1
Все прочие случаи.	0

В правльной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно BD.

Решение:

Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку и плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку O перпендикулярно BD. Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный, Так как треугольникASD — равнобедренный, . Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD

.

По теореме косинусов:

.

Отсюда

.

Ответ: .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С3	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	2
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек.	1
Все прочие случаи.	0

Решите неравенство .

Решение:

Пусть , тогда неравенство прини-мает вид:

.

Очевидно поэтому т. е. . Получаем:

.

Тогда

Ответ: , .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С4	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ.	2
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ.	1
Все прочие случаи.	0

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM , если известно, что и .

Решение:

Возможны два случая (см. рис). 1 случай. Четырехугольник описан около окружности, следовательно,

.

Четырехугольник вписан в окружность, значит, . Но , откуда , следовательно, с коэффициентом подобия . Обозначим через P периметр треугольника, тогда периметр треугольника CDM равен

.

Поскольку , далее получаем: , , откуда .