Расположение полюсов передаточных функций

Таким образом, решив характеристическое уравнение системы автоматического управления, по значениям корней, их расположению на комплексной плоскости, можно определить устойчивость системы.

Решение характеристического уравнения высокого порядка, требуемое для определения устойчивости, оказывается достаточно сложной проблемой. Поэтому вновь воспользуемся средствами программного комплекса MatLab.

Зададим передаточную функцию замкнутой системы в командной строке MatLab, используя команды num, dem, tf. Далее используем команды zero(h) и pole(h) – для нахождения численных значений нулей и полюсов функции, а также pzmap(h) – для построения карты полюсов и нулей функции на комплексной плоскости.

По расположению корней характеристического уравнения системы делаем вывод об устойчивости системы.

10.3. Проверим решение задачи устойчивости путем моделирования замкнутой нескорректированной сау с помощью программного пакета MatLab.

10.3.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п.3.3, в которой положим и , чтобы рассчитать переходную характеристику САУ по управлению. Cтруктурная схема для моделирования в этом случае принимает вид:

Рис.4. Cтруктурная схема САУ в MatLab

Здесь:

10.3.2. Примем шаг интегрирования по методу Рунге-Кутта 4 порядка в соответствии с неравенством:

где - наименьшая постоянная времени из и . В нашем случае:

поэтому:

Принимаем шаг интегрирования:

10.3.3. Результаты расчета переходной характеристики замкнутой нескорректированной САУ имеют вид:

Рис.5. Переходная характеристика замкнутой нескорректированной САУ.

10.4. Анализ устойчивости замкнутой нескорректированной САУ, выполненный разными методами дал одинаковый результат: система устойчива/неустойчива/на границе устойчивости.

10.5. В устойчивой САУ определяем по графику переходной характеристики перерегулирование и время перерегулирования в замкнутой нескорректированной САУ по управлению.

10.5.1. Рассчитываем установившийся уровень скорости для переходной характеристики по уравнению статической характеристики (п.8.3), получив в нем , :

10.5.2. Наложим на координатную систему , принятую на графике переходной характеристики, другую систему координат , так чтобы ось геометрически совпадала с осью , а ось - с осью .

Будем отсчитывать абсциссы и ординаты графика переходной характеристики в системе в миллиметрах.

10.5.3. Отметим на графике переходной характеристики точки K и L – две удаленные друг от друга оцифрованные точки на оси абсцисс. Пусть и - абсциссы этих точек, отсчитанные по оси , а и - оцифровка этих точек по оси времени.

Точная длина отрезка KL и его временной эквивалент определяется соотношениями:

а соотношение между осями и определит масштаб времени:

10.5.4. Отметим на графике переходной характеристики точки G и Q – две удаленные друг от друга оцифрованные точки оси ординат. Пусть и - ординаты этих точек, отсчитанные по оси , а и - оцифровка этих точек на оси скорости .

Тогда длина отрезка GQ и его эквивалент по скорости определятся соотношениями:

а соответствие между осями и определит масштаб скорости:

10.5.5. Нанесем на график переходной характеристики горизонтали, соответствующие уровням скорости , , , рассчитав ординаты этих горизонталей в системе координат следующим образом:

10.5.6. Определим по графику переходной характеристики ординату , соответствующую первому максимуму скорости:

Тогда перерегулирование в замкнутой нескорректированной САУ определяется следующим выражением:

10.5.7. Определим на графике переходной характеристике точку M, правее которой переходная характеристика не удаляется от своего установившегося значения далее чем на , то есть находится между горизонталями и .

Очевидно, что ордината этой точки, отсчитанная по оси времени , есть время регулирования .

Для вычисления по графику достаточно измерить абсциссу точки M - , отсчитанную по оси :

и пересчитать ее в по соотношению:

10.5.8. Сопоставим найденные значения и с требованиями задания:

Сравнение показывает, что замкнутая нескорректированная САУ удовлетворяет/не удовлетворяет требованиям задания по динамике. Системе требуется/не требуется коррекция.

23