Применение критерия Найквиста в классической форме

Для устойчивости системы автоматического управления по Найквисту необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы, то есть не охватывала точку с координатами (-1,j0) на комплексной плоскости.

Различные случаи расположения АФЧХ разомкнутой системы по отношении к критической точке (-1,j0):

Устойчивая САУ	САУ на границе устойчивости	Неустойчивая САУ

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что в случае прохождения АФЧХ через точку (-1,j0) в замкнутой системе могут поддерживаться незатухающие и нерасходящиеся колебания частоты , соответствующей этой точке, а такой режим как раз и соответствует границе устойчивости. Если же критическая точка не охватывается АФЧХ, однажды возникшие колебания не могут сами себя поддерживать, так как , и система оказывается устойчивой. Если АФЧХ охватывает критическую точку, то однажды возникшие колебания будут расходиться, так как , и система оказывается неустойчивой.

Для построения АФЧХ системы вновь воспользуемся средствами программного комплекса MatLab. Зададим передаточную функцию разомкнутой системы в командной строке MatLab (см. ранее). И далее используем функцию nyquist(h) для построение АФЧХ. Набрав её в рабочем поле, получаем следующее:

Примечание. Следует убрать галочку с Negative Frequencies!

В зависимости от расположения АФЧХ разомкнутой системы по отношении к критической точке (-1,j0) (выделить ее на графике), делаем вывод об устойчивости системы.

Для устойчивой системы здесь также можно оценить запасы устойчивости, т.е. выполнить оценку удаления АФЧХ разомкнутой системы от точки (-1,j0). Это удаление характеризует запас устойчивости, определяемый запасом устойчивости по модулю - и запасом устойчивости по фазе - .

Запасы устойчивости по модулю и фазе

Запас устойчивости по фазе:

,

где - частота, при которой .

Запас устойчивости по модулю - это расстояние между точкой (-1,j0) и точкой пересечения АФЧХ отрицательной действительной полуоси координат при частоте .

Связь устойчивости линейной сау с корнями характеристического уравнения

Пусть динамическое звено, устойчивость которого исследуется, имеет передаточную функцию

Определим временную характеристику этого звена, используя обратное преобразование Лапласа в следующей форме:

где - корни характеристического уравнения -го порядка.

Если обозначить

то получаем временную импульсную характеристику звена в виде:

Поведение временной импульсной характеристики при , а, следовательно, и устойчивость звена полностью определяется корнями характеристического уравнения. стоящими в показателях степени экспоненциальных функций.

Действительные корни будут определять экспоненциальные составляющие временной характеристики вида . Понятно, что такие составляющие будут затухать лишь при . Пары комплексно-сопряженных корней

будут определять колебательные составляющие импульсной характеристики вида

.

Эти составляющие тоже будут затухать лишь при .

Отсюда следует, что все корни характеристического уравнения устойчивого динамического звена должны иметь отрицательную действительную часть или в другой формулировке: все полюсы передаточной функции устойчивого динамического звена должны быть левыми.

Даже один правый корень говорит о неустойчивости звена.

Звено, имеющее корни характеристического уравнения с нулевой действительной частью (при отсутствии правых полюсов) являются нейтральными, то есть находятся на границе устойчивости.

Подчеркнем, что на устойчивость влияют только полюсы звена, то есть корни знаменателя передаточной функции. Нули, то есть корни числителя, на устойчивость не влияют.