- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Статистические оценки параметров распределения
- •§ 3. Метод моментов
- •§ 4. Метод максимального правдоподобия
- •§ 5. Интервальные оценки
- •§ 6. Вероятностные распределения, применяемые в статистике: гамма-распределение, распределение , распределение Стьюдента
- •§ 7. Критерий согласия
Федеральное агентство по образованию
Воронежский государственный университет
Mатематическая статистика
Учебно-методическое пособие
по специальности 071900 «Информационные системы и технологии»
для студентов 2 курса очной формы обучения
Воронеж – 2011
Оглавление
Основные понятия…………………………………………………………………………2
Статистические оценки параметров распределения…………………………………….5
Метод моментов …………………………………………………………………………...6
Метод максимального правдоподобия……………………………………………………8
Интервальные оценки…………………………………………………………………….10
Вероятностные распределения, применяемые в статистике: гамма-распределение, распределение , распределение Стьюдента………………………………………….12
Критерий согласия …………………………………………………………………….16
§ 1. Основные понятия
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Предмет, задачи математической статистики. Основные понятия
Предмет. Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.
Задачи. Упорядочение статистического материала, представление его в наиболее удобном для обозрения и анализа виде. Оценка вероятностных характеристик случайной величины, над которой велись наблюдения, а также проверка вероятностных гипотез.
Статистическое распределение выборки. Статистическим распределением выборки называют перечень наблюдавшихся значений признака , записанных в возрастающем порядке, и соответствующих им частот
(сумма всех частот равна объему выборки ) или относительных частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот наблюдавшихся значений, попавших в этот интервал).
Эмпирическая функция распределения. Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события
где - число наблюдавшихся значений, меньших , -объем выборки.
Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:
Значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку .
Эмпирическая функция распределения является неубывающей функцией.
Эмпирическая функция распределения равна нулю левее наименьшего наблюденного значения и единицы – правее наибольшего.
Гистограмма. Гистограммой частот (статистический аналог кривой распределения) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность частоты). Площадь частичного -го прямоугольника равна - сумме частот вариант, попавших в -й интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки .
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую функцию, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты), где - относительная частота, соответствующая -му наблюденному значению. Площадь частичного -го прямоугольника равна -относительной частоте наблюдавшихся значений, попавших в -й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.
Примеры с решениями
Пример 1. Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот.
Решение. Найдем объем выборки: Найдем относительные частоты:
Напишем распределение относительных частот:
Проверка:
Пример 2. Найти эмпирическую функцию распределения по заданному распределению выборки:
Решение. Найдем объем выборки: Наименьшее наблюденное значение равно единице, следовательно, при
Значение а именно наблюдалось 10 раз, поэтому при Значения а именно: наблюдались раз, следовательно, при Так как - наибольшее наблюденное значение, то при
Таким образом, искомая эмпирическая функция распределения имеет вид
График функции изображен на рисунке 1.
Рис.1
Пример 3. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема :
Номер интервала
|
Частичный интервал
|
Сумма частот наблюдавшихся значений интервала |
Плотность частоты
|
1 |
1-5 |
10 |
2.5 |
2 |
5-9 |
20 |
5 |
3 |
9-13 |
50 |
12.5 |
4 |
13-17 |
12 |
3 |
5 |
17-21 |
8 |
2 |
Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины . Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты . Например, над интервалом построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии ; аналогично строят остальные отрезки. Гистограмма частот изображена на рисунке 2.
Рис. 2
Задачи
Задача 1. Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот.
Задача 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
Номер интервала
|
Частичный интервал
|
Сумма частот наблюдавшихся значений интервала |
Плотность частоты
|
1 |
2-7 |
7 |
|
2 |
7-12 |
10 |
|
3 |
12-17 |
20 |
|
4 |
17-22 |
12 |
|
5 |
22-27 |
4 |
|
Задача 3. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
Номер интервала
|
Частичный интервал
|
Сумма частот наблюдавшихся значений частичного интервала |
1 |
2-5 |
6 |
2 |
5-8 |
10 |
3 |
8-11 |
4 |
4 |
11-14 |
5 |