6.2. Канонические уравнения метода перемещений

Если основную систему метода перемещений (ОС МП) загрузить нагрузкой, во введенных связях появятся реакции, которые отсутствовали в заданной системе (поскольку не было самих связей).

Обозначим через R₁ и R₂ реакции во введенных связях и отметим, что поскольку ОС МП является статически неопределимой, эти реакции могут появляться не только под действием приложенной нагрузки, но и в ответ на кинематические воздействия.

Сообщим введенным связям перемещения Z₁ и Z₂, равные смещениям заданной системы и потребуем, чтобы ОС вела себя как заданная. Это означает, что реакции во введенных связях от смещения этих связей и от заданной нагрузки в сумме должны равняться нулю:

R₁ (Z₁, Z₂, P) = 0;

R₂ (Z₁, Z₂, P) = 0.

Воспользовавшись принципом суперпозиции, представим эти уравнения в виде:

r₁₁ Z₁+ r₁₂ Z₂ + R_1p⁰ = 0;

r₂₁ Z₁+ r₂₂ Z₂ + R_2p⁰ = 0,

где r_ij  реакция во введенной i-ой связи от единичного смещения j-ой связи, а R_ip⁰  реакция в этой связи от заданной нагрузки.

Последние уравнения и называются каноническими уравнениями метода перемещений. В отличие от соответствующих уравнений метода сил эти уравнения имеют не геометрический, а статический смысл.

В общем случае для n неизвестных система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:

Sr_ij Z_j + R_ip⁰ = 0; (i = 1, 2,…, n). (6.1)

Решив эту систему и определив неизвестные Z_j, можно найти внутренние усилия по формуле, аналогичной формуле (4.7):

M_p = M_p⁰ + S`M_i⁰Z_i. (6.2)

Примечание.

В соответствии с принципом суперпозиции перемещение любой фиксированной точки i заданной системы можно найти как сумму двух: перемещения этой точки в ОС МП вследствие смещения введенных связей, и ее перемещения в той же системе под действием заданной нагрузки (рис. 6.3):

Δ_ip = Δ⁰_ic + Δ⁰_ip . (6.3)

Последнее соотношение является аналогом формулы (6.2) для перемещений.

6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Чтобы определить коэффициенты и свободные члены системы (6.1) нужно предварительно найти эти реакции для отдельных стержней. Соответствующие решения получаются интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки или с помощью метода сил и приведены на рис. 6.4, где через i = EJ/l обозначена приведенная жесткость балки.

С помощью этих стандартных решений нетрудно построить эпюры `M_i⁰ и M_p⁰ в заданной раме. После этого для определения искомых реакций r_ij и R_ip⁰ достаточно рассмотреть равновесие ее вырезанных узлов или других элементов, включающих введенные связи.

Пример 6.1. Построить эпюру изгибающих моментов M_p для рамы, рассмотренной в примере 4.3. (рис. 6.5, а).

Решение.

1) Отметим, что заданная статически неопределимая система имеет две лишние связи, и при ее расчете методом сил число неизвестных равнялось двум. При решении той же задачи методом перемещений число неизвестных, равное в данном случае числу незакрепленных жестких узлов, будет равно только единице, поэтому в этом примере МП будет эффективнее метода сил.

2) Основную систему МП получаем, вводя моментную связь в этом свободном узле (рис. 6.5, б).

3) Каноническое уравнение метода перемещений имеет вид:

r₁₁ Z₁+ R_1p⁰ = 0. (а)

4) С помощью стандартных готовых решений (рис. 6.4) строим эпюры изгибающих моментов от единичного значения Z₁ и от заданной нагрузки (рис. 6.5, в, г):

5) Вычисляем r₁₁ и R_1p⁰ , рассматривая равновесие вырезанного второго узла рамы:

r₁₁ = 7i, R_1p⁰ = ql²/12.

Полагая для удобства EJ = 2, получим i = EJ/l = 1, откуда r₁₁ = 7, R_1p⁰ = 1/3.

6) Решая (а) найдем

Z₁ =  R_1p⁰/ r₁₁ = – 1/ 21.

7) Искомую эпюру изгибающих моментов (рис. 6.5е) можно построить по формуле (6.2):

M_p = M_p⁰ + `M_i⁰Z_i.

Нетрудно заметить, что она совпадает с эпюрой, полученной ранее в примере (4.3) с помощью метода сил (рис. 4.5, и). 

Примечания:

1. Метод перемещений в отличие от метода сил не требует проведения кинематической проверки – достаточно убедиться в равновесии узлов построенной эпюры M_p.

2. Основная система метода перемещений не требует специального выбора – как в методе сил, поэтому МП легко формализуется и удобен для реализации в компьютерных программах.