21.Квантори. Операція навішування кванторів. Висловлення з кванторами.

Висловлення можуть утворюватись не лише шляхом надання певного значення змінній предиката, можна утворити висловлення, поставивши перед предикатом одне з слів «будь-який», «довільний», «кожний», «усі» ,«існує» та інші. Ці слова називаються кванторами. Розрізняють два види кванторів – квантори загальності і квантори існування. Квантори загальності вживаються за допомогою слів «будь-який», «кожен», «усі», «довільний» та позначається символом . Квантори існування виражаються словами «існує», «хоча б один», «деякі» і позначається символом . Операція навішування кванторів – це операція утворення висловлення з предиката за допомогою кванторів. Логіка часто розглядає предикати, які перетворюються в істинні висловлювання при будь-яких значеннях змінних з області визначення. Такими предикатами є ті, які після операції навішування кванторів виражають властивості арифметичних дій і мають вигляд рівностей. Рівності, які справедливі при будь-яких значеннях змінних, називаються тотожностями.

22. Побудова заперечення висловлень з кванторами.

Щоб виконати заперечення висловлення, яке вміщує квантор загальності, потрібно замінити квантор загальності на квантор існування і виконати заперечення предиката, що стоїть після квантора. Аналогічно для квантора існування: щоб виконати заперечення висловлення, яке вміщує квантор існування, треба замінити квантор існування на квантор загальності і виконати заперечення предиката, який стоїть після квантора. Також можна утворити заперечення, додавши функтор «не» або «невірно, що». Таким чином, є два основні способи побудови заперечень висловлень з кванторами:

1) поставити перед висловленням функтор «не» або «невірно, що»;

2) квантор загальності (існування) замінити на квантор існування (загальності) і виконати заперечення предиката, який стоїть після нього:

23. Відношення логічного слідування предиката. Необхідні й достатні умови.

Якщо імплікація предикатів перетворюється в істинне висловлення при всіх значеннях х з області Х, то предикат В(х) логічно слідує з предиката А(х). В таких випадках говорять, що між предикатами існує відношення логічного слідування. Це символічно можна записати так: . Щоб встановити, чи існує відношення логічного слідування між предикатами, треба утворити з цих двох предикатів імплікацію в довільному порядку і переконатися, що область істинності однієї з цих імплікацій співпадає з областю визначення і, крім цього, область істинності предиката-умови є підмножиною області істинності предиката-висновку. Тобто є дві умови відношення логічного слідування:

1) ;

2) .

Якщо предикати А(х) і В(х) перебувають у відношенні логічного слідування, то предикат В(х) називається необхідною умовою, а предикат А(х) – достатньою умовою. Тобто імплікацію можна прочитати так:

1) для того, щоб А(х), необхідно, щоб В(х);

2) для того, щоб В(х), достатньо, щоб А(х).