1.3. Косвенные измерения

При косвенных измерениях физическая величина А, значение которой на­до измерить, является известной функцией ряда других величин — аргу­ментов Данные аргументы подвергаются прямым измере­ниям, а величина А вычисляется по формуле:

(1.1)

В качестве результата косвенного измерения рассматривают оценку ве­личины А, определяемую подстановкой в представленную функциональную связь оценок аргументов этой функции. Каждый из аргументов измеряется с некоторой погрешностью, вносящей определенный вклад в результат косвенного измерения.

Этот вклад зависит от вида функциональной зависимости (1.1). С учетом этого вида все косвен­ные измерения подразделяют на линейные и нелинейные. К линейным кос­венным измерениям относятся только те, когда функция (1.1) представляет собой сумму из т составляющих вида где — некоторое число. При любом другом виде функции косвенные измерения относятся к нели­нейным.

При нелинейных косвенных измерениях обычно проводят приближенную оценку погрешности результата косвенного измерения на основе линеариза­ции функции (1.1).

Методика обработки результатов косвенных линейных измерений стандартизирова­на. Не вдаваясь в ее подробности отметим, что оцен­ку СКО случайной погрешности результата косвенного линейного измерения в зависимости от оценок СКО случайных погрешностей аргументов в общем случае можно определить по формуле:

где — оценка коэффициента корреляции, определяющего меру статисти­ческой связи случайных величин и Все возможные значения оценки ко­эффициента корреляции лежат в интервале от - 1 до + 1. Установление значения обычно затруднительно. Поэтому рассматривают два случая: (полная статистическая связь между аргументами) и (отсутствие связи). При =0 оценку СКО вычисляют по формуле:

(1.2)

Для использования выражений (1.2) требуется вычисление оце­нок СКО аргументов функции (1.1) на основе обработки результатов их многократных наблюдений.

Интересны частные случаи вычисления СКО косвенного измерения при отсутствии корреляции между погрешностями измерения аргументов.

Пусть функция (1.1) имеет вид суммы, или если наблюдается зависимость от одного аргумента:

(1.3)

Найдя ее частные производные и подставив их в (1.2), получим:

. . (1.4)

Предположим, что функция (1.1) имеет вид произведения:

(1.5)

где k, — константы. Определим ее частные производные по аргу­ментам х₁, х₂, ..., х_т и подставим их в (1.5). После простых преобразований получим удобное для расчетов выражение:

(1.6)

где — соответственно относительные СКО случайных погрешностей результата измерения и i-го аргумента.

Отметим важные выводы и замечания:

1. Если результат косвенных измерений равен взвешенной сумме прямых измерений (см. 1.3), то дисперсия результата измерений равна сумме квадратов взвешенных СКО прямых измерений (см. 1.4).

2. Если определяется погрешность суммы двух (и более) независимых измерений, то дисперсия суммарного измерения равна сумме дисперсий каждого из измерений

3. Если определяется погрешность произведения двух (и более) независимых измерений, то относительная дисперсия суммарного измерения равна сумме взвешенных в квадрате (см.1.6) относительных дисперсий каждого из измерений. Величины последних часто можно определить из паспортных данных измерительного прибора.

4. При очень приближенном оценивании, (а также когда нет возможности набрать статистику и определить дисперсию каждого их прямых наблюдений), вместо СКО прямых наблюдений можно использовать предел допускаемой абсолютной погрешности измерений.

5. Для косвенных измерений могут быть определены доверительные границы случайной погрешности и неисключенных систематических погрешностей. Методика процедуры может быть найдена в соответствующих ГОСТах. Результат косвенного измерения и его погрешность должны представляться в виде формулы:

_.

В заключение отметим, что при однократных измерениях аргументов процедура определения результата косвенно измеряемой величины сохраняется такой же, как и при многократных измерениях.

Пример. Оценка мощности, рассеиваемой на резисторе, проводилась по формуле:

Прямые измерения проведены в нормальных условиях цифровым мультиметром при времени преобразования Результаты измерений =758,8 мВ, 5,3 кОм, 1,5 мВ, 0,015кОм. Результаты измерений не коррелированны. Измерения напряжения проводились по шкале 1000 мВ, при этом для цифрового мультиметра

Определить и записать результаты измерения мощности при доверительной вероятности

Решение: Для исходных данных вычисляем измеряемое значение мощности

мкВт.

Определяем относительную систематическую погрешность измерения по формуле:

*

Вычисляем погрешности и по паспортным данным исследуемого мультиметра:

Полученные значения и подставляем в выражение (*) для относительной систематической погрешности измерения мощности и находим:

Переходя к абсолютной погрешности, получаем:

мкВт.

Результат измерения мощности записываем в виде:

мкВт;