III.4.Теорема Бернулли

Если в результате п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, а вероятность его непоявления равна q = 1 – p, то вероятность того , что событие А произойдет ровно т раз определяется формулой Бернулли

, где m = 0,1,2,3…

№31. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет только два изделия высшего сорта.

№32. В лотерее 10 билетов, из которых четыре выигрышных. Какова вероятность выиграть хотя бы раз, купив четыре билета?

№33. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. (Вероятность рождения мальчика считать 0,51).

№34. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают одну карту. Фиксируют масть карты и снова отправляют ее в колоду, после чего берут следующую. Найти вероятность того, что среди 4-х выбранных карт будет хотя бы один туз

№ 35. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей более двух мальчиков.

(Вероятность рождения мальчика считать 0,51).

№ 36. Событие В появится в случае если событие А наступит не менее 4-х раз. Найти вероятность наступления события В, если будет проведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

№ 37. Производится пять независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле 0,4. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.

№ 38. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету . Некто купил 7 билетов. Найти вероятность выигрыша хотя бы по одному билету.

III.5. Локальная теорема Муавра Лапласа

Формулой Бернулли можно пользоваться , если число испытаний невелико. При достаточно больших n применяют асимптотические вероятности.

Терема: Если вероятность p появления события A в результате каждого из n – независимых испытаний постоянно и отлично от 0 и 1, то при больших n вероятность появления события А среди n испытаний равно m раз имеет следующее приближенное представление

, где ,

III.6. Формула Пуассона

, m = 0,1 2 … формула Пуассона или закон редких явлений

III.7.Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k₁ , k₂) того, что событие А появится в nиспытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

.

№39. Всхожесть семян данного растения 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет между 760 и 820.

№40. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется не менее 100 девочек, если вероятность рождения мальчика О,51.

№41.Вероятность того, что электролампа перегорит , работая в течение суток, равна 0,005. Здание освещено 400одинаковыми лампами. Какова вероятность того, что в течение суток откажут 3 лампы?

№42. Определить вероятность того, что при 1000 испытаниях событие произойдет 320 раз, если вероятность появления в каждом испытании равна 0,3?

№44. Вероятность появления события в одном опыте равна 0,01. Произведено 1000 независимых опытов. Какова вероятность того, что событие произошло в четырех опытах?