§4. Применение преобразования Лапласа к интегрированию линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Алгоритм решения ДУ:

. К обеим частям дифференциального уравнения применяют преобразование Лапласа, в результате чего получают операторное уравнение (другое название – изображающее уравнение) относительно изображения искомой функции.

.Операторное уравнение решают относительно этого изображения, получают операторное решение.

. По найденному изображению находят оригинал, который и является искомым решением.

Замечание: При переходе от оригиналов к изображениям используется свойство дифференцирования оригинала .

Решить уравнения:

104). . Ответ: .

105). . Ответ: .

106). . Ответ: .

107). Ответ: .

108). Ответ:

109). Ответ:

110). Ответ:

111).

Ответ: .

112). Ответ:

113).

Ответ:

Решить системы уравнений:

114). .

Ответ:

115).

Ответ:

116). .

Ответ:

117). .

Ответ:

118.

Ответ:

119).

Ответ:

Вопросы по теме:

1. Определение оригинала

2. Определение изображения

3. Теорема о существовании изображения

4. Теорема о непериодичности изображения

5. Основные свойства преобразований Лапласа

* Свойство линейности

* Свойство подобия

* Свойство запаздывания оригинала

* Свойство затухания оригинала

* Дифференцирование оригинала

* Интегрирование оригинала

* Дифференцирование изображения

* Интегрирование изображения

6. Теоремы разложения ( нахождение изображения по данному оригиналу; нахождение оригинала по данному изображению)

7. Алгоритм решения ДУ и систем ДУ операторным методом

Тема 3: Теория вероятностей

Литература: 1. Коробский « Основы теории вероятностей»

1. Письменный « Теория вероятностей» (эл. Уч)

2. Браславская, Коробский «Практические занятия по то»

I Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.

Теория вероятности – математическая наука, которая изучает с количественной стороны закономерности в массовых случайных явлениях.

Определение. Вероятность события А равна отношению числа m случаев, благоприятствующих событию А к общему числу случаев..

Свойства вероятности:

1.

2. Если А достоверное событие , то P(A) = 1.

Если А невозможное событие, то P(A) = 0

3.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей

Определение: Упорядоченные группы элементов называется размещениями. Размещения - это соединения, состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m обозначается символом или

Определение: Любая группа m элементов из данных n элементов называется сочетаниями m элементов из n элементов. Сочетания - это соединения, состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом

;

0! = 1; 1! = 1

Определение: Размещения n элементов по n называется перестановкой P_n = n!

Определение: Вероятность попадания брошенной наугад точки в область А называется отношением площади области А к площади всей области

Геометрическое определение вероятности применяется и в тех случаях когда области Ω и А– обе линейные или объемные. В этих случаях

или , где l – длина или V – объем соответствующей области

1. Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторения звуков?

2. Сколькими способами можно расставить 7 книг на одной полке в ряд?

3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

4. Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?

5. Подбрасываем игральный кубик с цифрами на гранях 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность: а) выпадения четного числа; б) выпадения числа, кратного трем?

6.В классе 12 юношей и 18 девушек. Надо выбрать делегацию из трех человек. Предполагается, что выбор случаен. Найти вероятность того, что все делегаты - юноши.

7. В урне 12 шаров, пронумерованных 1,2,3,4,5……12. Наудачу извлекают 8 шаров. Найти вероятность того, сто среди вынутых шаров окажутся: 1) шар №3(событие А); 2) шары №5 и №6 (событие В)

8. На полке в случайном порядке расставлены 5 учебников, причет пять из них по математике. Вы берете наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет по математике.

9. Производится стрельба по мишени, состоящей из трех концентрических окружностей. Вероятность попадания в центральную зону равна 0,05; в кольцо – 0,1; в кольцо – 0,17 Какова вероятность попасть в мишень?

10. Стол имеем форму квадрата со стороной 1м. На столе нарисован круг диаметром 0,5м. Какова вероятность того, что шарик, брошенный сверху на стол, попадет в круг ) при условии, что шарик с одинаковой вероятность. Попадет в любую точку стола)?