- •Iy семестр
- •Тема 1:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
- •2) Тригонометрическая форма
- •3) Показательная форма комплексного числа
- •II. Функция комплексного переменного
- •Iy. Интеграл от функции комплексного переменного
- •Правило вычисления контурного интеграла:
- •Iy.2. Формула Ньютона –Лейбница
- •Iy.3. Теорема Коши для односвязной области
- •Iy.4. Интегральная формула Коши
- •Вопросы по теме:
- •Тема 2: Операционные исчисления
- •§1. Преобразование лапласа
- •1.1 Оригиналы и их изображения
- •1.2 Основные свойства преобразования Лапласа
- •5. Дифференцирование оригинала.
- •§2. Нахождение изображения по оригиналу
- •§3. Нахождение оригинала по изображению
- •§4. Применение преобразования Лапласа к интегрированию линейных неоднородных дифференциальных уравнений
- •Вопросы по теме:
- •Тема 3: Теория вероятностей
- •Письменный « Теория вероятностей» (эл. Уч)
- •Браславская, Коробский «Практические занятия по то»
- •I Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.
- •II Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий
- •III. Формула полной вероятности. Повторение испытаний
- •III.4.Теорема Бернулли
- •III.5. Локальная теорема Муавра Лапласа
- •III.6. Формула Пуассона
- •III.7.Интегральная теорема Лапласа
- •Iy. Случайные величины
- •Iy.1 Ряд распределения св
- •Iy.2 Интегральная и дифференциальные функции св
- •Iy.3 Числовые характеристики св
Вопросы по теме:
Комплексные числа. Действия с ними. Формы записи комплексных чисел.
Понятие области ( определение, ограниченная область, граница области, многосвязные области)
Функция комплексного переменного (определение,область определения, область значения, предел и непрерывность)
Дифференцирование ФКП( понятие производной, понятие дифференциала, понятие аналитической функции, условие Эйлера – Даламбера)
Элементарные функции и их свойства*: степенная, показательная, логарифмическая тригонометрические, гиперболические, обобщенные степенная и показательная)
Интеграл от ФКП и его свойства. Вычисление контурного интеграла*
Теорема Коши для односвязной* и многосвязной области*
Независимость интеграла от формы пути интегрирования*
Понятие первообразной и неопределенного интеграла от ФКП. Формула Ньютона –Лейбница*
Интеграл Коши, интегральная формула Коши
Ряды Тейлора, Маклорена и Лорана.*
Нули аналитической функции*
Классификация особых точек ( типы изолированных точек : устранимая, полюс, существенно- особая)*
Понятие вычета. Основная теорема о вычетах*
Вычет относительно полюса*
Применение вычетов (практика)
Знать все определения и основные понятия по теме. Уметь вычислять интегралы
Тема 2: Операционные исчисления
Литература:
1. Браславская Н. Б. «Операционные исчисления»
2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления»б т 2
3. Письменный « Лекции по высшей математике», т 2
§1. Преобразование лапласа
1.1 Оригиналы и их изображения
Определение: Оригиналом называется функция ) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим условиям:
а) на любом конечном отрезке функция f(t) имеет не более, чем конечное число точек разрыва первого рода;
б) при ;
в) f(t) имеет ограниченный рост, то есть возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные и , что
при ,
и число называют показателем роста функции f(t).
Определение: Изображением оригинала называется функция комплексного переменного , где , определяемая равенством
.
Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1) называют интегралом Лапласа, а операцию перехода от оригинала f(t) к изображению называют преобразованием Лапласа
1.2 Основные свойства преобразования Лапласа
1. Линейность. Для любых комплексных чисел и справедливо:
.
2. Подобие (теорема подобия). Для любого
.
3.Теорема запаздывания.
Если f(t) = F(p), тo для любого справедливо
4. Смещение (теорема смещения). Если f(t) → F(p), то для любого комплексного справедливо
.
5. Дифференцирование оригинала.
Предположим, что и , и – оригиналы, тогда справедливо
.
6. Дифференцирование изображения. Если , то
7. Интегрирование оригинала. Если , то
.
8. Интегрирование изображения. Если и функция является оригиналом, то
.
Сверткой функций f1(t) и f2(t) наз. интеграл от произведения этих функций f1(t)*f2(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.
Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f1(t) =: F1(p), f2(t) =: F2(p) , то
f1(t)*f2(t) =: F1(p) F2(p)
71). Каковы показатель роста и изображение оригинала ?
72). По какой причине функция не может быть изображением?
73). Какое изображение имеет оригинал ?
74). Какое изображение соответствует оригиналу ?
75). Какое изображение соответствует оригиналу ?
76). Какое изображение соответствует оригиналу ?
77). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
78). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
79). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
80). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
81). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
82). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
83). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?
84). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , то какой вид имеет изображение оригинала ?
85). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , , то какой вид имеет изображение оригинала ?
86). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , , то какой вид имеет изображение оригинала ?
87). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , , , , то какой вид имеет изображение оригинала ?
88). Какое изображение имеет интеграл ?
89). Какое изображение имеет интеграл ?
90). Какое изображение имеет интеграл
91). Используя свойство дифференцирования изображения, найти какое изображение соответствует оригиналу ?
92). Используя свойства дифференцирования изображения, определить какое изображение соответствует оригиналу ?
93). Используя свойство интегрирования изображения, найти какое изображение соответствует оригиналу ?
94). Используя свойства интегрирования изображения, найти какое изображение соответствует оригиналу ?
95). Найти функцию, задающую свертку функций ?
96). Найти функцию, задающую свертку функций ?