Задача 5

Построить гистограмму и график интегральной функции распределения для данных из примера 2. В качестве первого приближения принять число интервалов рассчитанное по формуле Стенжерса.

Значения наработок на отказ x_i* в тыс.км:

251,7 201,4 177,9 70,0 198,9 133,5 125,0 290,6

173,2 218,5 234,0 287,3 220,3 144,3 243,5 167,6

250,8 217,1 102,1 199,2 246,6 163,6 175,2 205,2

329,9 308,0 177,7 209,6 221,4 165,6 165,1 218,3

221,0 145,6 300,0 197,6 246,0 139,9 174,3 219,5

236,1 223,8 244,8 160,0 118,7

Решение:

1). Найдём значения наработок на отказ х_i для своего варианта по следующей формуле: х_i= х_i^**0,78

где x_i – значение i-й наработки на отказ;

x_i^* – заданное значение i-й наработки на отказ;

и получим следующие значения:

54,6 79,63 92,58 97,5 104,13 109,12 112,55 113,56 124,8 127,60 128,77 129,16 130,72 135,09 135,95 136,65 138,60 138,76 154,12 155,14 155,37 157,09 160,05 163,48

169,33 170,27 170,43 171,83 172,38 172,69 174,56 182,52 184,15 189,93 190,94 191,88 192,34 195,62 196,32 218,01 224,09 226,66 234 240,24 257,32

2). Вычислим приближенное количество интервалов группирования по формуле:

где n =45 – количество значений в выборке;

k – приближенное количество интервалов.

Полученное значение округляем в меньшую сторону k = 6.

3). Рассчитаем величину интервала группирования:

_{где ∆х – величина интервала группирования;}

_{хmax – max значение наработки на отказ;}

_{xmin – min значение наработки на отказ;}

_{k – количество интервалов.}

х = (х_max – х_min)/ k= (257,32-54,6)/6= 33,78

4). Определяем границы интервалов по следующей формуле:

,

_{где ∆х – величина интервала группирования;}

_{хmaxj – max значение наработки на отказ j-го интервала;}

_{xminj – min значение наработки на отказ j-го интервала.}

x_max1= 54,6+33,78=88,38;

х_max2= 88,38+33,78=122,16;

х_max3= 122,16+33,78=155,94;

х_max4= 155,94+33,78=189,72;

х_max5= 189,72+33,78=223,5;

х_max6= 223,5+33,78=257,32.

5). Рассчитаем по формуле: середину интервалов,

где X_j – середина j-го интервала;

– наименьшее значение интервала из данных наблюдений;

∆x – величина интервала;

j – номер интервала (j = 0, 1, 2, … k-1).

Х₁= 54,6+33,78/2=71,49;

Х₂= 88,38+33,78/2=105,27;

Х₃= 122,16+33,78/2=139,05;

Х₄= 155,94+33,78/2=172,83;

Х₅= 189,72+33,78/2=206,61;

Х₆= 223,5+33,78/2=240,39.

6). Определим число попаданий m_j результатов наблюдений попадающих в середину интервала группирования. Полученные параметры сводим в таблицу 4.

Таблица 4

Номер интервала	Границы интервалов	Середина интервала, Xj	Число попаданий, mj
1	54,6-88,38	71,49	2
2	88,38-122,16	105,27	6
3	122,16-155,94	139,05	13
4	155,94-189,72	172,83	12
5	189,72-223,5	206,61	7
6	223,5-257,32	240,39	5

7). Гистограмма выборки на полученных интервалах:

_{Определяется по формуле} ,

где f_i – гистограмма выборки j-го элемента;

m_i – число попаданий значений наработок на отказ на i-м интервале;

n – количество значений в выборке;

∆x – величина интервала группирования.

2/(45·33,78)=0,00131

6/(45·33,78)=0,00394

13/(45·33,78)=0,00855

12/(45·33,78)=0,00789

7/(45·33,78)=0,0046

5/(45·33,78)=0,00328

Тогда гистограмма распределения случайной величины пробега автомобиля при исправных кулаках тормозной системы примет вид (рис. 1):

Рис. 1. Гистограмма выборки распределения случайной величины на шести интервалах

В этом случае распределение имеем одну инверсию (при переходе с 3 на 4 интервал).

8). Примем число интервалов k = 7, ширина интервала ∆x:

_,

_{где ∆х – величина интервала группирования;}

_{хmax – max значение наработки на отказ;}