Нелинейные динамические системы

Все физические системы (природные системы) являются нелинейными системами, поведение нелинейных систем существенно отличается от поведения линейных систем. Одна из наиболее характерных особенностей нелинейных систем – нарушение в них принципа суперпозиции. В линейных системах результатом совместного действия двух различных факторов является простое сложение результатов каждого из них, взятых отдельно. В нелинейных системах небольшое изменение одного внешнего воздействия может привести к кардинальному изменению общего результата. Предсказать траектории хаотических систем на длительное время невозможно, т.к. чувствительность их к флуктуациям начальных условий и внешних воздействий очень высока, что делает неустойчивость траекторий этих систем чувствительными к управлению.

Т.о., нелинейные динамические системы демонстрируют одновременно и хорошую управляемость и удивительную пластичность: система сохраняет способность переходить в состояния, диктуемые динамикой процесса и чутко реагировать на внешние воздействия. По-видимому, это является причиной того, что хаотическая динамика – это характерный тип поведения многих подсистем живого организма. Такие системы должны быть чувствительны к «инновационным возмущениям» и реагировать на них путем коррекции своего изменения, чтобы обладать способностью к эволюции, но при этом сохранять тип поведения свойственный именно данной системе. Если система теряет это свойство, то «запас динамической прочности» может оказаться недостаточным по отношению к малым возмущениям и внешне благополучная система может потерять устойчивость и даже разрушиться.

Все процессы в природе, от Большого взрыва до появления разума и человека, надо рассматривать как единый процесс развития материального мира. Процесс самоорганизации материи, т.е. эволюция Вселенной обусловлена, по крайней мере, двумя фундаментальными предположениями:

1. постулируется факт самоорганизации материи,

2. постулируется факт «начала» мира.

В современном естествознании «началом» мира считается Большой взрыв. Работы А.А. Фридмана показали, как с течением времени могла эволюционировать Вселенная из точки сингулярности в момент Большого взрыва. Сингулярное (особое) состояние – состояние вещества с огромной плотностью. Как было показано советскими физиками А.Д. Линде, А.А. Старобинским и американскими физиками А. Альбрехтом и П. Стейнхардтом, в сингулярном состоянии существует гравитационное отталкивание и Вселенная стремительно расширяется по экспоненциальному закону. Вселенная, как говорят, раздувается, или на языке физиков, осуществляется состояние инфляции. В состоянии огромной плотности и невообразимо высокой температуры существование упорядоченных структур невозможно. Этот первозданный, беспредельный вихрь первобытной массы в греческой мифологии назвали хаосом. И в то же время, хаос означает полный беспорядок, неразбериху, состояние, в котором нельзя определить положение частиц в данный момент времени и нельзя предсказать, где она будет в следующее мгновение. Если в такой системе взаимодействие частиц подчиняется законам динамики, то поведение этой системы называют динамическим или детерминированным хаосом.

Представим себе диффузию в газе, порожденную случайным блужданием частиц газа; или, поразительно сложные траектории частиц нескольких (может быть очень многих) жидких химических реагентов, причудливо превращающихся друг в друга; или, множество людей, не единомышленников, собравшихся вместе для решения важной социальной проблемы. Казалось бы, здесь все случайно, или как говорят физики, имеет место детерминированный хаос на микроуровне. И во всех случаях средние величины, характеризующие систему, ведут себя детерминированным образом. Но хаос на микроуровне может привести к упорядоченности на макроуровне.

В качестве первого примера рассмотрим объёмное движение жидкости под действием температурных неоднородностей. Представим слой жидкости (например, воды) между двумя горизонтальными параллельными плоскостями, имеющими одинаковую температуру. (Разность температур ). Предоставленная сама себе жидкость придет в состояние механического и теплового равновесия, в котором все объёмы, выделенные каким-либо образом в жидкости, неразличимы между собой. Если на короткое время коснуться пальцем одной из плоскостей, то температура этой части изменится (например, от 20 С до 36 С). Это событие случайно и локально изменяющее некоторые характеристики системы называют возмущением. Если возмущение кратковременное и небольшой амплитуды и в системе затухает, немного меняя её характеристики, оставляет систему в новом равновесном состоянии, то такое состояние называют асимптотически устойчивым.

Подогреем нижнюю поверхность, оставив температуру верхней неизменной, т.е. создадим градиент температуры по вертикали. Разность температур будем поддерживать длительное время. При небольших значениях разности температур в жидкости установится простое и естественное состояние переноса тепла от нижней поверхности к верхней без конвекции. Это явление называют теплопроводностью, оно обусловлено передачей энергии хаотически движущимися частицами воды. Увеличение разности температур приведет к возникновению восходящих и нисходящих потоков, из которых формируются ячейки. Ячейки (ячейки Бенара) выстраиваются вдоль горизонтальной оси, причем жидкость в ячейках приходит во вращательное движение то против, то по часовой стрелке. Можно сказать, что жидкость структурируется с некоторой сложностью описания. При повторении опыта через некоторое время вращение жидкости в ячейках может поменяться произвольно. Конечно, возникшая сложность в поведении жидкости выглядит очень скромно по сравнению со сложностью, присущей простейшей бактерии.

Рассмотрим теперь химическую реакции, известную под название реакции Белоусова-Жаботинского (Б-Ж), которая при определенных условиях демонстрирует целый спектр неожиданных, очаровательных сложных режимов поведения. Типичный препарат представляет собой смесь сульфата церия Ce ( SO ) , малоновой кислоты CH (COOH) и бромата калия KBrO , растворенного в серной кислоте. Происходящие в системе процессы можно наблюдать невооруженным глазом. При определенных условиях протекания реакции (меняя время пребывания реагентов в системе) система внезапно окрашивается в голубой цвет, который через несколько минут сменяется красным, красный – голубым и т. д.. Смена цветов происходит с идеально регулярным периодом и амплитудой, зависящими лишь от параметров системы.

Если реакция Б-Ж протекает без перемешивания, то в системе возникают регулярные пространственно-временные картины в виде распространяющихся волновых фронтов. Они бывают разных видов: кольцевые фронты, имеющие почти цилиндрическую симметрию относительно оси перпендикулярной плоскости слоя, и спиральные фронты, вращающиеся в пространстве против или по часовой стрелке. Можно даже получить многозаходные спирали. В любом из этих случаев волновые фронты распространяются на макроскопические расстояния без искажений и с заданной скоростью, что эквивалентно некоторому сообщению, посылаемому из центра излучения волн.

Эти простые и другие более сложные эксперименты убеждают нас в мысли, что в детерминированном хаосе могут возникать упорядоченные, устойчивы структуры, способные передвигаться, переносить информацию. Опыты Стенли Миллера по созданию аминокислот, в какой-то степени, можно считать опытами в детерминированном хаосе.

Исследованием поведения таких систем, установлением закономерностей появления различных структур, изучением и предсказанием свойств возможных упорядоченных структур занимается, бурно развивающаяся последние 50 лет, нелинейная динамика. Основная задача нелинейной динамики и синергетики состоит в нахождении и подробном исследовании тех базовых математических моделей, которые исходят из наиболее типичных предположений о свойствах отдельных элементов системы и законах взаимодействия между ними. Синергетику надо рассматривать как общую теорию самосогласованного поведения в системах самой различной природы. Синергетика – (греч. Synergia) – совместное действие.

В настоящее время происходит всё более активное проникновение физических методов и подходов в биологию. Оказывается, что основные формы кооперативного поведения, свойственного живым организмам, имеют свои аналоги среди неорганических систем. Любой живой организм представляет собой иерархию, достаточно, автономных подсистем, в которой исходящие от верхних ступеней сигналы не имеют характера жестких команд, подчиняющих активность индивидуальных элементов более низких уровней. Вместо этого от высших уровней иерархии поступают сигналы, которые предопределяют переходы подсистем от одного устойчивого режима к другому, что позволяет избежать неустойчивостей и нежелательной динамики всей системы.

В сложных системах с жестким централизованным управлением неизбежно возникают неустойчивости, вызывающие переход к беспорядку. Именно открытие самого факта и условий перехода сложных систем с жестким централизованным управлением от порядка к хаосу является блестящим успехом нелинейной динамики. Но где лежит граница между порядком в регулярной, но сложно организованной структуре, чувствительной к малым возмущениям, и беспорядком, хаосом, т.е. режимом, при котором возникают в системе образования, устойчивые к малым возмущениям?етодов и подходов в биологию.матических моделей, котор.. сный - голубым ся в голубой цвет, который через несколько минут сменяетсякраснымемя пребывания реагентов в системе) система

Возможно, что биологический порядок отчасти отражает спонтанную упорядоченность, т.е., в процессе эволюции из бесчисленного множества морфологических признаков данного биологического вида могут быть реализованы не все комбинации, а только некоторое, избранное множество. Кроме того, динамический хаос значительно ускоряет эволюцию и резко сужает множество допустимых путей изменения и тем самым, уменьшает число случаев для появления того или иного биологического вида.

Теория нелинейных динамических систем открыла превалирование неустойчивых состояний систем, т.е., изначально малые изменения параметров системы могут усиливаться и приводить к лавинообразному изменению поведения системы. Это стало основой теории самоорганизованной критичности, теории риска и безопасности. Среди приложений этой теории – поведение фондовых рынков, биологическая эволюция, землетрясения, движение по автобанам, график сообщений по компьютерным сетям.

Рассматривая биосферу как сложную открытую систему с нелинейными ограничениями, теория динамических систем позволяет понять, почему климатические условия на Земле сильно флуктуировали. С 60-х годов 20-го века стало более или менее ясно, что климат способен проявлять весьма выраженную изменчивость.

Последние 200-300 миллионов лет на Земле не было льда, он появляется на Земле около 2-х млн. лет назад, уровень моря был примерно на 80 метров выше существующего.

40 миллионов лет назад за 100 тысяч лет температура морской воды упала на несколько градусов. (Сейчас, средняя температура морской воды около 15,5 градусов по шкале Цельсия).

Около 18 тысяч лет назад в Северном полушарии льда было много, около 80 миллионов кубических километров, а сейчас около 30 млн. км и уровень моря был на 120 метров ниже современного.

Ледяные шапки континентов (кроме Антарктиды и Гренландии) исчезли около 7000 лет назад. Удивительно, что это время влажных периодов самых засушливых зон Земли. В Сахаре были непересыхающие реки, которые существовали до начала железного века. Около 3000 лет назад началось глобальное похолодание, но 9-й, 10-й, 11-й века нашей эры были теплее прошедших веков. В эти годы викинги открыли Гренландию, а 1550-1700 годы были очень холодными.

При похолодании альбедо (коэффициент отражения) Земли увеличивается, что равносильно положительной обратной связи, т.е., отражение ещё больше увеличивается, следовательно, усиливается похолодание. Влияние на климат могут оказывать и периодическое изменение угла наклона земной оси к плоскости эклиптики. (Флуктуации угла наклона составляют примерно 1,5 , т.е., меняется от 22 до 25 ). Периодически меняется и эксцентриситет орбиты Земли под воздействием планет и других возмущений. Период таких изменений составляет 22000 лет, 41000 лет и 100 тысяч лет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Теория динамических систем с нелинейными ограничениями далека до завершения, но уже сейчас позволяет сделать некоторые выводы:

1. Возникновение новых систем происходит в точке бифуркации,

2. Свойства новых систем во многом определяются флуктуациями параметров исходного состояния и флуктуациями внешних воздействий в процессе эволюции системы,

3. Скорость эволюции системы неравномерна во времени и в пространстве самой системы и зависит от сочетания и согласованности свойств системы, характера и величины внешних воздействий.