2.7. Основное уравнение надежности объектов

Это уравнение связывает значение ВБОР P(t), которую далее будем называть функцией надежности p(t) с функцией интенсивности отказов. Для получения основного уравнения надежности используем формулу (2.24.) интенсивности отказов:

или

Учитывая, что первая производная функции y=lnx равна можно записать, приняв, что x=p(t): Следовательно, выражение (t) можно переписать в виде:

(2.26.)

Интегрируя в приделах (0, t) обе части равенства, получим с учетом того, что P(0)=1:

или (2.27.)

Основное уравнение надежности показывает, что для получения функции надежности (т.е. функции ВБОР) необходимо число “е” возвести в отрицательную степень, равную интегралу в пределах (0, t) от функции (t). С учетом этого условная ВБОР в интервале (t, t+) может быть записана

(2.28.)

2.8. Статистическое определение оценок показателей безотказности

В результате наблюдений над N экземплярами объектов данного типа определяются наработки до первого отказа каждого экземпляра, в результате чего получаем вариационный ряд: Т₁, Т₂,…, Т_i,…, Т_N, - номер экземпляра объекта, Т_i - их наработка на отказ.

Зададимся наработкой t и найдем число экземпляров n(t), отказавших к моменту t. Тогда оценки и определяются в виде:

(2.29.)

Следовательно, оценка ВБОР с учетом формулы (2.6.) определяется в виде:

(2.30.)

Для получения оценки интенсивности отказов необходимо задаться наработкой t и наработкой t+t>t и определить число экземпляров, отказавших к этим моментам: n(t) и n(t+t). Тогда оценка интенсивности отказов определяется по формуле:

(2.31.)

Числитель формулы (2.31.) показывает, какое число экземпляров отказало в интервале t. В знаменателе формулы разность N-n(t) показывает, какое число экземпляров еще не отказало к началу интервала нароботки и (t, t+t).

Очевидно, что оценки , и показателей безотказности, полученные по формулам (2.29)-(2.31), являются точечными, т.е. определяют значения этих показателей в виде одной точки функций P(t), q(t) и (t). Для получения оценок указанных функций в целом следует найти ряд точечных оценок этих функций, по которым построить сами функции в виде полигона, соединив ломаной кривой полученные точечные оценки.

Оценки функций можно получить в виде гистограмм функций. Для этого наработку 0…T_N разбивают на 10…20 равных интервалов  t, номера которых от j=1 до j=l. Затем определяют n_j - число экземпляров, отказавших к началу j-того интервала, и n_j - отказавших внутри j-того интервала. Находим точечные оценки для каждого интервала:

(2.32.)

Оценка средней наработки до отказа определяются по формуле

(2.33.)

где: T_i – наработка до отказа каждого экземпляра, номера которых от i=1 до i=N

Оценка дисперсии наработки до отказа определяется по формуле

(2.34.)

Оценка является средним арифметическим наработок до отказа T_i. Оценка находится, если извесна оценка , как видно из формулы (2.34). Оценка является несмещенной, для чего знаменатель формулы оценки равен N-1.

10