2.5. Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа (точнее до первого отказа) есть математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. Для непрерывной положительной случайной величины математическое ожидание есть первый начальный момент, определяемый по формуле:

(2.21.)

где: M[T] – символ математического ожидания случайной величины, f(t) - функция плотности распределения вероятностей случайной величины. Учитывая формулы (2.2) и (2.9), выражение для определения средней наработки до отказа Т₀ можно записать в виде:

(2.22)

Ясно, что в выражениях (2.22.) можно сократить дифференциал dt, тогда получим выражение, которое проинтегрируем по частям:

Первое слагаемое в полученном выражении равно нулю, т.к.

Следовательно, средняя наработка до отказа определяется по формулам:

(2.23)

Как первый начальный момент либо как площадь под кривой ВБОР в пределах от 0 до бесконечности расчетная величина Т₀ показывает, через какое значение наработки "в среднем" отказывают объекты данного типа. Экспериментально оценка средней наработки до отказа получается как среднее арифметическое наработок до отказа объектов, поставленных под наблюдение.

2.6. Интенсивность отказов

Интенсивность отказов есть условная плотность вероятности отказов невосстанавливаемого объекта, определяемая для данного значения и при условии, что до этой наработки отказ не возник. Безусловная плотность вероятности возникновения первого отказа определяется функцией плотности распределения вероятностей (t), а смысл этой функции известен из теории вероятностей. Определим выражение условной плотности возникновения отказа при указанном выше условии. Для этого используем формулу (2.18) условной вероятности первого отказа в интервале (t, t+):

Предел отношения при , есть условная дифференциальная вероятность отказа в момент t при условии, что после начала эксплуатации до наработки t отказа не было. Обозначим этот предел (t) и получим:

Указанный предел не зависит от функции P(t), а определяется функцией P(t+). Учитывая можно записать

(2.24)

где: P'(t) - скорость изменения ВБОР;

P'(t)/P(t) - относительная скорость изменения ВБОР.

Ясно, что условная дифференциальная вероятность отказа, определяемая для наработки t при условии, что после начала эксплуатации до этой наработки отказ не возник, есть условная плотность вероятности возникновения отказа – т.е. интенсивность отказов. Это определяется тем, что функция плотности вероятностей есть дифференциальная функция, определяемая формулами (2.2..) и (2.9.). Т.о., интенсивность отказов можно записать по формуле (2.24), а это означает, что интенсивность отказов есть относительная скорость изменения ВБОР при данном значении t: p^I(t) есть скорость изменения ВБОР, а отношение - относительная скорость. Т.к. <0, поэтому (t) всегда положительная величина, т.к. перед отношением в формуле (2.24.) стоит знак минус. Учитывая, что согласно (2.9.) , интенсивность отказов можно записать в виде:

(2.25.)

Эта формула используется наиболее часто. Из нее видно, что интенсивность отказов есть отношение функций плотности возникновения первого отказа к ВБОР при данном значении наработки t. Из формулы (2.25) можно сделать выводы:

1. условная плотность вероятности возникновения первого отказа (t) больше безусловной плотности вероятности (t), т.к. <0. Следовательно, налагаемое условие, что отказ до наработки t не возник, делает плотность вероятности большой.

2. Плотность вероятности можно считать как отношение вероятности того, что случайная величина примет наперед заданное значение, к этому значению случайной величины. Поэтому размерность (t) и (t) есть единица, разделенная на размерность наработки до отказа: