Додаток 1 розрахунок термічних напружень в задачах стаціонарної теплопровідності
Розрахунок термічних напружень в задачах стаціонарної теплопровідності (див.завдання № 1 ... 3, 6 ... 8) проводиться таким чином. Термічне напруження з гарячою (лівої) сторони стінки:
σг=S1(tср-tп.1) (1)
де S1=βЕ/(1- ν) – питоме термічне напруження на один градус температури Па/К;
β- лінійний термічний коефіцієнт розширення 1/К;
Е- модуль Юнга, Па;
ν- коефіцієнт Пуассона.
Термічне напруження з холодної (зовнішньої) сторони стінки;
σх = S1 (tср – tn.зов), (2)
де tn.зов – температура зовнішньої поверхні стінки, oС;
tср – середньо-масова температура, oС.
Для одношарової плоскої:
tср = (tn1 + tn2)/2 (3)
та багатошарової:
(4)
де tср.і = (tn1 + tn.і+1)/2; m – число стінок.
Для циліндричної:
tср = С2 + С1 (-0,5 + ln - ln ) (5)
і для кульової стінки
tср = С2 - С1 Rср/ Rг (6)
де Rср= (R1+R2)/2; Rг=( + )/3;
С1 і С2 – смталі, дивись лекції з "Тепломасообміну" або "Температури та напруження"
ДОДАТОК 2
Розрахунок температур та термічних напружень у процесах нестаціонарної теплопровідності
Задачі нестаціонарної теплопровідності (див. задачі №4,5) достатньо складні і тому часто вирішуються графічним методом за допомогою номограм Будріна [1, 2] для визначення безрозмірних температур у центрі і на поверхні тіла. Проте в ряді випадків можна записати прості наближені аналітичні залежності.
Так, для температурного поля тіл простої форми в регулярному режиму нагріву або охолодження при числах Фур'є Fo>0,3 відповідно [4,5]:
, (1)
де: - безрозмірна координата; - напівтовщина пластини, м;
- безрозмірний час, число Фур'є;
;
- температуропровідність, м2/с;
- поверхнева амплітуда;
- теплопровідність, Вт/мК; - час нагріву (охолодження), с;
t(х, ) та t0 - температура тіла відповідно шукана і початкова, °С;
tж - температура навколишнього середовища, °С;
Bi - число Біо, ; - коефіцієнт тепловіддачі, Вт/м2К
- перший корінь характеристичного рівняння ctgμп=μп/Ві;
;
- коефіцієнт термічної масивності;
k - коефіцієнт геометричної форми, який дорівнює 1 - для пластини, 2 - циліндра і кулі - 3; ;
; при малих значеннях ;
Вважаючи в рівнянні x= та x=0 , одержуємо вираження для розрахунку температури на поверхні:
, (2)
у центрі:
. (3)
середня по масі температура Θср =Θпk ·Ві/μ2. (4)
де якщо k=1;
якщо k=2;
якщо k=3;
При великих числах Біо .
Формулою (1) можна користуватися при достатньо великих числах Фур'є, коли .
При малих числах Фур'є ( <0,2) температура в центральних точках тіла приблизно дорівнює початкової, тобто , а для розрахунку температури на поверхні варто використовувати враження:
, (5)
де: ; .
Остаточно одержуємо температуру на поверхні пластини:
, у центрі , та середню
При визначенні часу нагріву тіла до заданої температури на поверхні пластини (обернена задача), варто розв'язати рівняння (2) або (5) щодо числа Фур'є. До рівняння (3) це досягається простим потенціюванням:
, (6)
а рівняння (5) потрібно вирішувати методом послідовних наближень або графічним згідно [2] способом.
Возразмірні нестаціонарні (змінюються у часі) осьові термічні напруги [4,5]
на поверхні (7)
і в центрі тіла (8)
де - відносні термічні напруги, 0≤ ≤1; - максимальноможливі термічні напруги, Па;
Аналіз рівнянь (7) і (8) показав, що динаміка зміни напружень під час носить колоколообразний характер, тобто спочатку різко зростають, досягаючи максимального значення при числах Фур'є Fomaх=0,05…0,50, а потім поступово падають.
Часи настання максимальних термічних напружень можна знайти за рівнянням
Foj=(1/a)ln(1/bj) (9)
де j=1 відповідають часу настання максимальної напруги на поверхні, а при j=2 - в центрі тіла.
При малих числах Біо (Bi<3): a=(π/2)2-D/γ; b1=KA∙Bi; b2=Bi/2(7+ k);
KА= k/(2(k+2)) і при великих Біо: a=(3π/2)2(1-β)2(1-δ); β=1/Bi; δ=1/9; b1=1 b2≃0,1.
Часи Foj можна також визначити за відомим числом Біо з рис.1.
Знаючи Foj, можна за рівняннями (2) ... (4) при Fo = Foj знайти Θп, Θц і Θср, а потім за формулою (7) і (8) - максимальні термічні напруги.
Після визначення відносних напружень розмірні термічні напруги: , Па.