- •Глава 1. Введение 10
- •Глава 9. Шифрмашина "Энигма" 130
- •Глава 10. Шифрмашина "Хагелин" 152
- •Глава 11. После "Энигмы" 172
- •Глава 12. Криптография с открытым ключом 179
- •Глава 13. Шифрование и Интернет 188
- •Предисловие
- •Глава 1. Введение Некоторые аспекты безопасности связи
- •Шифр Юлия Цезаря
- •Несколько основных определений
- •Три этапа дешифрования: идентификация, взлом системы и вскрытие ключей.
- •Коды и шифры
- •Оценка стойкости системы шифрования
- •Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки
- •Другие методы сокрытия содержания сообщений
- •Модульная арифметика
- •Модульное сложение и вычитание букв
- •Заключение
- •Глава 2. От Юлия Цезаря до простой замены Шифры Юлия Цезаря и их вскрытие
- •Шифры простой замены
- •Вскрытие шифра простой замены
- •Частоты встречаемости букв в других языках, кроме английского
- •Сколько знаков необходимо для дешифрования простой замены?
- •Глава 3. Многоалфавитные системы Усиление системы Юлия Цезаря: шифры Вижанэра
- •Вскрытие шифра Вижанэра
- •Индикаторы
- •Одноключевые сообщения
- •Распознавание одноключевых сообщений
- •Какой объем текста необходим для дешифрования шифра Вижанэра?
- •Цилиндр Джефферсона
- •Глава 4. Шифры-головоломки
- •Перестановки
- •Простая перестановка
- •Двойная перестановка
- •Другие виды перестановок
- •Регулярные перестановочные таблицы
- •Нерегулярные перестановочные таблицы
- •Оценка стойкости шифров перестановки
- •Общая концепция двойного шифрования
- •Глава 5. Двухбуквенные шифры
- •Замена "монограф-диграф"
- •Мдпм-шифры
- •Система "диграф-диграф"
- •Шифр Плейфера*)
- •Расшифрование в системе Плейфера
- •Криптоаналитические аспекты системы Плейфера
- •Двойной шифр Плейфера
- •Глава 6. Коды Характеристики кодов
- •Одночастевые и двухчастевые коды
- •Код плюс аддитивное шифрование
- •Глава 7. Шифры для шпионов
- •Шифры-решетки
- •Книжные шифры
- •Использование книжного шифра
- •Частоты встречаемости букв в книжных шифрах
- •Вскрытие книжного шифра
- •Индикаторы
- •Катастрофические ошибки при использовании книжного шифра
- •Шифры "агента Гарбо"
- •Первый шифр "агента Гарбо"
- •Второй шифр "агента Гарбо"
- •Одноразовый блокнот
- •Глава 8. Получение случайных чисел и букв Случайные последовательности
- •Получение случайных последовательностей
- •Бросание монеты
- •Бросание костей
- •Извлечение из урны (по типу лотереи)
- •Космические лучи
- •Шум от усилителей
- •Псевдослучайные последовательности
- •Линейные рекурренты
- •Использование последовательности двоичных знаков гаммы для шифрования
- •Двоичные линейные последовательности как генераторы гаммы
- •Криптоанализ линейной рекурренты
- •Повышение стойкости двоичной гаммы
- •Генераторы псевдослучайных чисел
- •Метод срединных квадратов
- •Линейные конгруэнтные генераторы
- •Глава 9. Шифрмашина "Энигма" Историческая справка
- •Первая "Энигма"
- •Шифрование с использованием контактных колес
- •Шифрование в "Энигме"
- •Коммутатор "Энигмы"
- •Ахиллесова пята "Энигмы"
- •Цепочки индикаторов в "Энигме"
- •Выравнивание цепочек
- •Идентификация колеса r1 и его угловой установки
- •Двойное шифрование в "Энигме"
- •"Энигма" Абвера
- •Глава 10. Шифрмашина "Хагелин" Историческая справка
- •Конструкция шифрмашины «Хагелин»
- •Шифрование при помощи шифрмашины "Хагелин"
- •Выбор установок барабана в шифрмашине "Хагелин"
- •Теоретический объем перебора для шифрмашины "Хагелин"
- •Вскрытие установок "Хагелина" по отрезку гаммы
- •Дополнительные возможности шифрмашины "Хагелин"
- •Смещение
- •Определение смещения по шифрованному тексту
- •Перекрытия
- •Вскрытие шифрмашины "Хагелин" только по шифрованному тексту
- •Глава 11. После "Энигмы" sz42 - предтеча электронных машин
- •Описание шифрмашины sz42
- •Шифрование в машине sz42
- •Вскрытие шифрмашины sz42 и определение ее угловых установок
- •Модификации шифрмашины sz42
- •Глава 12. Криптография с открытым ключом Историческая справка
- •Вопросы безопасности
- •Защита программ и данных
- •Шифрование программ, данных и сообщений
- •Задача распределения ключей
- •Система ключевого обмена Диффи-Хеллмана
- •Стойкость системы Диффи-Хеллмана
- •Глава 13. Шифрование и Интернет Обобщение шифра простой замены
- •Факторизация больших целых чисел
- •Стандартный метод факторизации
- •Малая теорема Ферма
- •Теорема Ферма-Эйлера (для случая системы rsa)
- •Ключи зашифрования и расшифрования в системе rsa
- •Процессы зашифрования и расшифрования в системе rsa
- •Каким образом хозяин ключей отвечает корреспондентам?
- •Американский Стандарт Шифрования Данных (des)*)
- •Общие сведения
- •Процедура зашифрования
- •Процедура расшифрования
- •Стойкость des-алгоритма
- •Зацепление
- •Реализации des-алгоритма
- •Совместное использование алгоритмов rsa и des
- •Полезное замечание
- •После des-алгоритма
- •Проверка подлинности сообщения и удостоверение подлинности подписи
- •Криптография эллиптической кривой
- •Приложение. Математические вопросы Глава 2 м1. Совпадения знаков в алфавитах замены
- •М2. Снижение стойкости при использовании взаимно-обратных алфавитов
- •M3. Парадокс дней рождения
- •Глава 3 м4. Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел
- •Глава 6 м5. Последовательность чисел Фибоначчи
- •Глава 7 м6. Частота встречаемости букв для книжного шифра
- •М7. Одноразовый блокнот дешифровать невозможно
- •Глава 8 м8. Частота появления случайных чисел на странице
- •М9. Комбинирование двух последовательностей двоичных знаков гаммы, имеющих отклонения
- •М10. Последовательность типа Фибоначчи
- •М11. Двоичные линейные рекурренты
- •M12. Восстановление двоичной линейной рекурренты по отрезку гаммы
- •М13. Получение псевдослучайных чисел
- •Глава 9 м14. Распайка колёс шифрмашины "Энигма"
- •М15. Число возможных отражателей шифрмашины "Энигма"
- •М16. Вероятность одноключевых сообщений для "Энигмы"
- •М17. Среднее число индикаторов, необходимое для построения полных цепочек
- •Глава 10 м18. Число возможных барабанов шифрмашины "Хагелин"
- •М19. Максимальная кратность значения зацепления, которая может встретиться при вычислении разности гаммы шифрмашины "Хагелин"
- •M20. Определение смещения шифрмашины "Хагелин" с помощью коэффициента корреляции
- •Глава 13 m21. (Порядок роста количества простых чисел)
- •M22. Вычисление остатка с использованием модульной арифметики
- •М23. Доказательство теоремы Ферма-Эйлера
- •М24. Нахождение чисел, "предположительно" являющихся простыми
- •M25. Алгоритм Евклида
- •М26. Эффективность возведения в степень методом последовательного возведения в квадрат
- •М27. Число ложных ответов при дешифровании des-алгоритма методом "встречного поиска "
- •М28. Криптография эллиптической кривой
- •Решения задач Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 13
- •Литература
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 12
- •Глава 13
Линейные конгруэнтные генераторы
Для порождения последовательности целых чисел из диапазона от 0 до (M-1) наиболее широко используется метод на основе рекуррентной формулы типа
Un = AU(n-1) + B (mod M),
где A, B и M - целые числа. A называется множителем, B - приращением, а M - модулем. Процесс начинается с выбора так называемого начального значения U0 из диапазона от 0 до (M-1). Такая рекуррента должна в конце концов повториться, и очевидно, что максимальный период не может превосходить числа M, так что M нужно выбирать "достаточно большим". Для правильно подобранных значений A, B и M большой период является достижимым. В самом лучшем случае период будет максимальным; тогда выбор начального значения не важен, так как в этом случае в последовательности встретятся все значения по модулю M, кроме одного. Данный метод лежит в основе большинства генераторов случайных чисел, применяемых в компьютерах, причем значения модуля, приращения и множителя встроены в программу, а выбор начального значения предоставляется пользователю. Чтобы обеспечить еще лучшие результаты, можно использовать несколько таких генераторов, комбинируя каким-либо образом их выходные последовательности. Другое усовершенствование может состоять в том, чтобы использовать числа не в порядке их получения, а "перетасовать" их каким-нибудь способом, дабы уменьшить риск корреляции между последовательными значениями. Таким способом можно получать длинные "псевдослучайные" последовательности с хорошими свойствами. В таблице 8.1 приведены некоторые из известных "хороших" вариантов выбора чисел A, B и M.
Таблица 8.1
A |
B |
M |
106 |
1283 |
6075 |
171 |
11213 |
53125 |
141 |
28411 |
134456 |
421 |
54773 |
259200 |
С другой стороны, одиночный генератор с плохо подобранными значениями A, B и M может дать гамму с очень коротким периодом. Приведем пример, иллюстрирующий в малом масштабе эти ситуации.
Пример 8.4
Используя рекурренту
Un = 3U(n-1) + 4 (mod 17),
получить последовательность целых чисел, начиная с
U0 = 5,
U0 = 15.
Решение
(1) Поскольку U0 = 5, то U1 = 35+4=192(mod 17), и т.д. Получается последовательность длины 16:
5, 2, 10, 0, 4, 16, 1, 7, 8, 11, 3, 13, 9, 14, 12, 6, 5, 2, 10, ... .
Этот генератор, хотя и скромный с виду, имеет максимально возможный цикл, в данном случае 16. Дополнительные комментарии можно найти в приложении M13.
U0 = 15 дает нам U1 = 315+4=4915(mod 17), и период равен единице! Это объясняет, почему число 15 не встречается в полученном выше цикле длины 16.
Задача 8.2
Проверить, что последовательность, полученная методом срединных квадратов для четырехзначных чисел, начиная с X=7789, вырождается в цикл из четырех чисел.
Задача 8.3
Каковы будут для U0 = 1 длины циклов следующих рекуррент:
Un = 3U(n-1) + 7 (mod 19),
Un = 4U(n-1) + 7 (mod 19)?
При использовании генераторов псевдослучайных чисел этого типа получаемые значения обычно делят на значение модуля M, чтобы получить в результате действительное число от нуля до единицы. Поскольку генератор вырабатывает целые числа в диапазоне от 0 до (M‑1), то среди получаемых действительных чисел может встретиться число 0.0, но никогда не встретится число 1.0. Это небольшое ограничение, скорее всего, не очень важно, и для правильно подобранных значений A, B и M получаемые действительные числа будут равномерно распределены в диапазоне от 0 до 1. Более подробно этот вопрос освещен в [8.4] и в приложении M13.