3.Вынужденные колебания маятника

Вынужденными называются колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

,

где F₀ – амплитуда вынуждающей силы; Ω – ее частота.

В данном случае вид дифференциального уравнения бу­дет следующий:

.

Решение данного уравнения сводится к сумме решения однородного уравнения (решение уравнения свободных ко­лебаний) x_св и частного решения, определяемого выражени­ем для вынуждающей силы, х_вн:

х = х_св + х_вн .

Первое слагаемое с течением времени стремится к нулю, поэтому после установления вынужденных колебаний имеем

х = х_вн = А_вн cosΩt,

где А_вн – амплитуда вынужденных колебаний, которая явля­ется сложной функцией нескольких переменных:

. (7)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, при постоянстве всех других величин, представлена на рис. 3 и назы­вается резонансной кри­вой. Циклическая частота вынуждающей силы Ω_p, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, называется резонансной частотой, а явление, когда амплитуда вынужденных колебаний дости­гает наибольшего значения, называется резонансом.

Рис. 3. Резонансная кривая

Можно показать, что частота, при которой наступает ре­зонанс, связана с частотой собственных колебаний системы и коэффициентом затухания соотношением

. (8)

4.Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Рассмотрим систему, которая может совершать колеба­ния в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Тра­ектории, которые может иметь тело при этом, получили на­звание фигур Лиссажу. Их вид зависит от соотношения частот и разности фаз колебаний. При этом выполняется не­сколько важных закономерностей, которые широко исполь­зуются для настройки и анализа колебательных систем:

а) отношение количества пересечений оси Х к количест­ву пересечений оси Y равно отношению частот колебаний;

б) вид фигуры Лиссажу зависит от разности фаз коле­баний.

5. Метод решения задач механики с использованием вычислительной техники

Любую механическую задачу можно свести к решению так называемых дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), частным случаем которых являются уравнения Ньютона, которые описывают движе­ние под действием различных сил, зависящих в общем слу­чае от положения точки в пространстве, ее скорости и мо­мента времени:

.

Решение данных уравнений аналитическими способами в общем случае является очень сложной, часто просто не­выполнимой задачей. Для получения решений в настоящее время разработано большое количество численных спосо­бов, основанных на использовании вычислительной техни­ки. Простейшим из них, который использован в данной ла­бораторной работе, является метод, разработанный еще са­мим Ньютоном. Он заключается в том, что соответствую­щие производные заменяются так называемыми конечно-разностными соотношениями, т.е. например:

и

Тогда в качестве решения задачи можно предложить следующий алгоритм:

1. Во-первых, вычисляется значение ускорения в данный момент времени с использованием известной силы:

2. Во-вторых, вычисляется значение скорости с исполь­зованием конечно-разностных соотношений:

3. В-третьих, вычисляется новая координата точки с использованием конечно-разностных соотношений:

.

4. В-четвертых, вычисляется новое значение времени:

5. И наконец, возвращаемся к пункту 1 и получаем но­вое значение координаты и т.д.

В качестве дифференциального уравнения колеба­тельного движения используется уравнение вынужден­ных колебаний.