4 Преобразование Лапласа
X(p) – изображение; х(t) – оригинал; р – оператор Лапласа
р = C + iω, i = √–1; C – абсцисса абсолютной сходимости.
Для устойчивых стационарных систем и элементов C = 0 и формулы (1 и 2) переходят в формулы прямого и обратного преобразования Фурье.
Основные свойства преобразования:
1) Изображение функции умноженной на постоянное число «а» (a = const):
L[ax(t)]= aL[x(t)]=aX(p)
2) Изображение суммы нескольких функций:
L[x1(t) + x2(t) +…]= L[x1(t)] + L[x2(t)] +…= X1(P) + X2(P) +…
3) Изображение производных при нулевых начальных условиях:
х(0)=x’(0)= x”(0)= х(n-1)(0)= 0 L[x(t)]=pX(p); L[x”(t)]= p²X(p); L[x(n)(t)]= pnX(p)
4) Изображение интегралов:
5) Теорема смещения:
5 Передаточная функция
Передаточная функция - отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если к системе или элементу приложено несколько входных воздействий, то необходимо обговаривать относительно какого входного воздействия ищется передаточная функция. При решении задач используется передаточная функция:
1. Передаточная функция элемента:
f(t) = 0
B(p) = bm•pm + bm–1•pm–1 + … + b1•p0 + b0.
2. Передаточная функция разомкнутой
системы:
f(t) = 0
3. Передаточная функция замкнутой
системы:
f(t) = 0
4. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:
x(t) = 0
5. Передаточная функция замкнутой системы
относительно ошибки по задающему
воздействию:
f(t) = 0
Подвергая уравнение элемента: X2(p) = W(p) • X1(p), обратному преобразованию Лапласа получим: х2(t) = Lˉ [W(p) • X1(p)]
х1(t) = 1(t) => X1(p) = 1/р; х2(t) = h(t) X2(p) = h(p) h(t) = Lˉ [W(p) / p]
при x1(t) = δ(t) => X1(p) = 1; x2(t) = ω(t) X2(p) = ω(p) ω(t) = Lˉ [W(p)]
h(р) = W(p) / p; ω(p) = W(p)
6 Понятие частотных характеристик. Лчх
Основа частотного метода исследования составляют частотные характеристики, представляющие собой формулы или графики характеризующие реакцию элемента (системы) в установившемся режиме на гармоническом входном сигнале. АЧХ, ФЧХ, АФХ, ВЧХ, МЧХ
Экспериментальное определение ЧХ основан на свойстве устойчивых линейных стационарных элементов и систем: если на вход элемента подать гармоничный входной сигнал: х1(t) = X1(ω)•Sin[ωt + φ1(ω)], где X1(ω) и φ1(ω) это амплитуда и фаза входного сигнала фиксируемой частоты ω, то окончание переходного процесса выходной сигнал х2(t) будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой входного сигнала ω, но с другой амплитудой Х2(ω) и фазой φ2(ω) х2(t) = X2(ω)•Sin[ωt + φ2(ω)].
Экспериментальное снятие ЧХ: на вход элемента или системы подают гармонический сигнал неизменной амплитуды Х1(ω1) фазы φ1(ω1) фиксированной частоты ω = ω1, по окончанию переходного процесса определяют при помощи измерительной аппаратуры амплитуду выходного сигнала Х2(ω1) и сдвиг по фазе φ2(ω1) между выходным и входным сигналом: φ(ω1) = φ2(ω1) – φ1(ω1).
Повторяя такие измерения для других фиксированных частот входного сигнала в интервале от 0 < ω < ∞, получим: Х2(ω2), Х2(ω3), …
φ(ω2) = φ2(ω2) – φ1(ω2); φ(ω3) = φ2(ω3) – φ1(ω3).
М(ω1) = X2(ω1) / X1(ω1); М(ω2) = X2(ω2) / X1(ω2).
Имея ряд значений М(ωi) и φ(ωi) для ряда фиксируемых частот ωi строят графики:
М(ω) = X2(ω) / X1(ω) – характеризует усиление или ослабление входного гармонического сигнала в установившемся режиме (АЧХ), и φ(ω) = φ2(ω) – φ1(ω) – характеризует сдвиг по фазе гармонических выходных сигналов относительно входной различной фиксируемой частоты в установившемся режиме (ФЧХ). Объединив АЧХ и ФЧХ получают одну характеристику АФХ.
φ(ωj)=arg
W(iωj)
Аналитическое определение ЧХ можно получить из передаточной функции путем замены оператора Лапласа на р = iω. Если в передаточную функцию элемента или разомкнутой системы подставить p = iω, то получим:
1.АФХ:
U(ω)+iV(ω)=M(ω)[Сosφ(ω)+iSinφ(ω)]
2.АЧХ:
3.ФЧХ: φ(ω)=argW(iω) = arg B(iω) – arg D(iω) = arctg V(ω) / U(ω), U(ω) > 0
arctg V(ω) / U(ω) + π U(ω) < 0.
4. ВЧХ: U(ω) = M(ω)•Cos φ(ω).
5. МЧХ: V(ω) = M(ω)•Sin φ(ω).
К ЛЧХ относятся: ЛАХ: L(ω) = 20lgM(ω).
ЛАХ строится в виде зависимости L(ω) от lg(ω) [L(ω), lg(ω)]. измеряется в [дб]; 1[дб] = 0,1Б (Белл). Белл – это единица десятичного логарифма отношения мощности сигнала на выходе к мощности сигнала на входе, т.е. это единица усиления или ослабления мощности сигнала.
ЛФХ: φ(ω) строится в виде зависимости [φ(ω), lg(ω)], измеряется в градусах.
Декада - интервал частот от произвольно выбранного значения частоты до его удесятеренного значения.