Основні формули

Абсолютно твердим тілом називається таке тіло. яке не можна деформувати. Його можна уявити як сукупність матеріальних точок, відстань між якими незмінна.

Момент інерції -це міра інертності твердого тіла, скалярна фізична величина, яка дорівнює сумі добутків елементарних мас на квадрати їх відстані від деякої осі:

- для дискретно розподілених елементарних мас,

- для неперервно розподілених елементарних мас.

Тут ( ) – елементарна маса, ( ) - відстань від елементарної маси до осі обертання.

. Теорема Гюйгенса - Штайнера: ’Момент інерції відносно довільної осі дорівнює сумі моментів інерції відносно осі, паралельній даній і яка проходить через центр мас тіла та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями:

.

Розмірність моменту інерції:

Моменти інерції деяких однорідних тіл правильної геометричної форми (Мал.20):

-радіус циліндра і кулі, - довжина тонкого стержня

Мал. 20

Моментом сили відносно точки , з якої проводиться радіус-вектор до точки прикладання сили, називається псевдовектор (Мал. 21):
Модуль моменту сили дорівнює: , де - плече сили, напрям вектора знаходимо за правилом свердлика. Розмірність моменту сили: . Моментом сили відносно осі , що проходить через точку , називається проекція вектора моменту сили на цю вісь:
Моментом імпульсу твердого тіла відносно точки є псевдовектор (Мал. 22): В загальному випадку напрям вектора не співпадає з		Мал. 22

напрямом осі обертання і повертається разом з тілом довкола цієї осі. Для однорідного тіла, симетричного відносно осі обертання, напрямок моменту імпульсу відносно точки співпадає з напрямком вектора кутової швидкості : .

Якщо вісь обертання проходить через центр мас тіла , то значення моменту імпульсу не залежить від положення точки на осі обертання. Розмірність моменту імпульсу:

Центром мас називається така точка , радіус – вектор , якої визначається за формулою: = ,

де - маса твердого тіла. - елементарна маса, - радіус - вектор елементарної маси відносно початку відліку. В однорідному полі сили тяжіння центр мас співпадає з центром тяжіння.

Рівняння руху центра мас:

Основний закон динаміки обертального руху: ,

де -кутове прискорення, - сума моментів всіх зовнішніх сил.іло.

Рівняння моментів: .

Умови рівноваги твердого тіла: ,

Приклади розв’язування задач

Задача 3.1. Знайти момент інерції тонкого однорідного дротяного кільця радіусом =0,5 і масою =1 відносно осі: 1) яка співпадає з його діаметром, 2) яка паралельна до діаметра і проходить через край кільця.

Розв’язок:

Дано: =0,5 =1 -?, -? Знайдемо момент інерції кільця відносно осі (Мал. 23), скориставшись формулою: . (1) (1) Кут , мала зміна кута: = . За умовою задачі,

кільце тонке і однорідне, його лінійна густина

, (1)

а маса малої частини кільця - елементарна маса:

= , де (2)

Відстань елементарної маси до осі обертання:

. (3)

Підставимо вирази (2) і (3) в формулу (1) і отримаємо момент інерції кільця відносно осі :

= = (4)

Знайдемо момент інерції кільця відносно осі , використавши теорему Гюйгенса - Штайнера:

= (5)

Підставимо в формули (4, 5) числові значення:

=0,125 , =0,187

Відповідь: =0,125 , =0,187

Задача 3.2. Дві кулі з однаковими радіусами =0,05 і масами = закріплені на кінцях стержня довжиною і вагою = . Знайти момент інерції системи відносно осі, що проходить через середину стержня перпендикулярно до нього. Оцінити відносну похибку, яка допускається, якщо кулі вважати матеріальними точками.

Розв’язок:

Дано: =0,05 . = -? , -? Момент інерції системи тіл (Мал. 24) дорівнює сумі моментів

Мал. 24

інерції кожного тіла зокрема.

Момент інерції стержня масою і довжиною відносно осі дорівнює: .

Момент інерції кулі відносно осі : .

Визначимо момент інерції кулі відносно осі , скориставшись теоремою Гюйгенса – Штайнера:

= + (1)

Момент інерції всієї системи буде дорівнювати:

= (2)

Якщо вважати стержень невагомим, а кулі – точковими масами, то момент інерції системи тіл буде таким: (3)

Підставивши числові значення в формули (2) і (5), отримаємо:

, .

Відносна похибка: = =0,174

Відповідь: , , =0,174.

Задача 3.3. В верхній точці похилої площини, з кутом нахилу до горизонту =30⁰, закріплено блок, радіус якого і маса = 1 , через який перекинута невагома і нерозтяжна нитка. До кінців нитки прив’язані вантажі масами = і = . Знайти за який час вантаж пройде шлях 60см від початку руху? Тертя нитки та блоку відсутнє. Коефіцієнт тертя вантажу по похилій площині =0,25.