Приклади розв’язування задач

Задача 1.1. Рівняння прямолінійного руху тіла вздовж осі ОХ має

вигляд: . Знайти швидкість тіла в момент часу . В який

момент часу після початку руху тіло змінить напрямок на протилежний? В який момент часу тіло повернеться в точку з координатою ?

Розв’язок.

Дано:

1) =? , 2) =?, 3) =0, =?

Знайдемо швидкість і прискорення тіла:

12-8 (м/с) (1)

(м/с²) (2)

В момент часу швидкість

(м/с).

Тіло змінює напрям руху на протилежний в момент зупинки ( =0), отже час зміни напрямку руху знайдемо з рівняння: 12 - 8 =0

і отримаємо: = =1,5 (с).

Знайдемо час з умови задачі: , якщо =0, то:

5+12 -4 ² = 0.

Запишемо це рівняння в канонічному вигляді:

4 ²-12 -5=0 (3)

звідки, розв’язавши його, знайдемо: =3,375 с.

Відповідь: = - 12м/с; =1,5с; = 3,375с.

Задача 1.2. Один із способів оцінки якості автомобіля ґрунтується на визначенні того, наскільки швидко він розганяється до швидкості 60км/годину. У деяких автомобілів прискорення обмежується не потужністю двигуна, а проковзуванням коліс. Хороші шини забезпечують прискорення приблизно 0,5 . Скільки часу і який шлях потрібний для розгону автомобіля до швидкості 60км/годину?

Розв’язок.

Дано: =0

=60км/годину = 16,8 м/c

=?, =?

Рух автомобіля рівноприскорений, початкова швидкість дорівнює нулю ( =0). Запишемо формулу для швидкості : ,

звідки час розгону . Шлях, пройдений за час розгону Перевіримо розмірність: = , =

Підставимо числові значення в формули (2,3):

с, м

По аналогії з цим прикладом можна визначити мінімальний час і гальмівний шлях до повної зупинки автомобіля, якщо його мінімальне прискорення м/с².

Початкова швидкість м/с²: В момент зупинки =0, отже час до зупинки знайдемо з рівняння , звідки:

с.

Як і можна було сподіватися, ми отримали такий самий час, як і при розгоні. Отже, гальмівний шлях буде дорівнювати 28,3м.

Відповідь: = 3,4с; = 28.3м.

Задача 1.3. Людина знаходиться в кімнаті на п’ятому поверсі і бачить, як мимо її вікна пролітає зверху квітковий горщик. Відстань 2м, що дорівнює висоті вікна, горщик пролетів за 0,1с. Висота одного поверху 4м. Визначте, з якого поверху впав горщик.

Розв’язок.

Д ано: =2 м

=0.1 с

=4 м.

=?

Рух горщика рівноприскорений (опором повітря нехтуємо), його початкова швидкість =0. Початок координат виберемо в точці початку руху, вісь ОУ спрямуємо вниз). Координати верхньої і нижньої частин рами вікна (Мал. 6) : і , причому .Отже:

(1)

(2)

Враховуючи, що , а , отримаємо:

(3)

Знайдемо час падіння тіла до верхньої частини вікна з виразу (3):

(4)

Підставимо числові значення: =

Координата верхньої частини вікна:

м. (5)

Висота одного поверху 4м, тому горщик пролетів поверхів, а падав горщик з 25 поверху.

В цій задачі розмірність отриманого результату очевидна, тому її перевіряти не потрібно.

Відповідь: = 25.

Задача 1.4. З підводного човна запускається балістична ракета, наведена на місто, яке знаходиться на відстані 3000км від човна. За який час ракета долетить до цілі і яка її стартова швидкість ? При цьому будемо вважати Землю плоскою, прискорення вільного падіння сталим ( =9.8 м/с²), опором повітря і води нехтуємо.

Розв’язок.

Дано: = 3*10⁶м/с

=?,

=?

Спочатку вияснимо, під яким кутом треба запустити ракету, щоб вона досягла точки на поверхні Землі. Рух ракети рівноприскорений, тому рівнянням руху є:

(1)

В проекціях на осі ОХ і ОУ:

ОХ:

ОУ:

Швидкість ракети змінюється за формулою:

В проекціях на осі ОХ і ОУ:

ОХ:

ОУ:

Траєкторія ракети – парабола (Мал.7). В найвищій точці траєкторії вектор швидкості паралельний осі ОХ, отже і . Звідси отримаємо час підйому ракети :

. (2)

Час руху ракети від запуску до цілі:

. (3)

Підставимо в формулу для координати і отримаємо дальність польоту:

(4)

Максимальна дальність польоту буде досягнута, якщо ракету націлити під кутом =45⁰.

Знайдемо початкову швидкість ракети:

= км/с.

Повний час руху ракети буде:

хвилин.

З цього прикладу видно, що в випадку ракетного нападу максимальний запас часу становить приблизно 10 хвилин, що замало для евакуації міста.

Вияснимо, на яку найбільшу висоту піднімається ракета. Для цього підставимо час в формулу для :

м=749 км

Перевіримо розмірність:

= = ,

Відповідь: = 5,42км/с, = 13хв.

Задача 1.5. Тіло рухається по колу так, що його кутова координата змінюється з часом за формулою: , де =3 рад/с. а = 5 рад/с³. Знайти: а) залежність кутової швидкості і кутового прискорення від часу; б) час до зупинки; в) кутове прискорення в момент зупинки.

Розв’язок.

Дано:

=3 рад/с, = 5 рад/с³

а) ?, б) -?, в) -?

Модуль кутової швидкості: дорівнює

, (1)

а модуль кутового прискорення:

В момент зупинки ( ) кутова швидкість дорівнює нулю.

(3)

З формули (3) визначимо час зупинки і кутове прискорення:

с, рад/ с²

Відповідь: = 0,067с; = -1рад/с².

Задача 1.6. Колесо обертається з кутовим прискоренням 2рад/с². Через 0,5с після початку руху повне прискорення колеса 0,136м/с². Знайти

радіус колеса.

Розв’язок.

Дано: = 2рад/с2, = 0,5с, = 0,136м/с2, -?

Мал.8.

Кутова швидкість колеса дорівнює: , лінійна швидкість точки на ободі колеса (Мал.8): .Тангенціальне прискорення: , нормальне прискорення: . Повне прискорення точки знайдемо за теоремою Піфагора: = .

Виразимо радіус колеса: . Перевіримо розмірність отриманого результату: = підставимо числові значення: = = 0,062м

Відповідь: =0,06м.