2 Кинематический анализ механизма

Задача кинематического анализа механизма – определение траектории движения характерных точек механизма, что позволяет определить габариты механизма, а также величины кинематических характеристик механизма по заданной кинематической схеме и закону движения входных звеньев механизма.

Эти задачи решают либо графо-аналитическим, либо аналитическим методом. Среди графо-аналитических методов различают: метод графического дифференцирования, метод плана скоростей и метод плана ускорений.

При решении задач кинематики принимают ряд допущений:

1. Звенья принимаются абсолютно твёрдыми телами.

2. Расстояние между кинематическими парами остаётся постоянными.

3) В кинематических парах отсутствуют зазоры.

2.1 Изображение кинематической схемы механизма

Кинематическая схема – это условное изображение данного нам механизма в определённом соотношении длин звеньев и кинематических пар. Кинематическая схема механизма отличается от принципиальной количественным соотношением длин звеньев и расстоянием между кинематическими парами.

Для построения на чертеже различных планов и схем в данной работе неоднократно будем пользоваться понятием масштабный коэффициент длины. Конкретизируем понятие для кинематической схемы механизма.

Масштабный коэффициент длины – это отношение длинны отрезка в мм. к натуральной величине, изображённой этим отрезком соответствующей размерности.

Для изображения кинематической схемы примем масштабный коэффициент длины:

.

Для построения найдем длины отрезков в выбранном масштабном коэффициенте:

По данным значениям длин строим кинематическую схему механизма в заданном положении (см. Приложение, рис.1).

2.2 Построение крайних положений механизма.

Крайние положения механизма соответствуют крайним положениям ползуна.

В крайнем верхнем положении механизма отрезки АВ и ВС «выстраиваются» в одну линию АВС, длина которой равна сумме длин упомянутых отрезков. Таким образом, из точки А откладываем при помощи графического редактора величину АВС и делаем засечку на направляющей ползуна. Это и будет крайнее верхнее положение механизма – точка С''. Для нахождения точки D'' из точки С'' делаем засечку величиной СD, вторую засечку величиной ВD проводим аналогичным образом из точки В. Точка пересечения засечек и есть D''. Наконец, точка В'' будет находиться на линии АВС на расстоянии АВ от точки А.

В крайнем нижнем положении отрезки АВ и ВС будут «накладываться» друг на друга. Для построения точки СD' из точки А делаем засечку величиной равной разнице отрезков ВС и АВ на направляющей ползуна. Определяя точку В' через точки А и С' проводим линию на которой из точки А откладываем отрезок длиной АВ, причём точка В' должна располагаться на чертеже ниже точки А. Точку D' опять же определяем как пересечение засечек, отложенных из точки С' длиной СD и точки В' длиной ВD.

Расстояние между точками С' и С'' называется ходом ползуна и находится по формуле:

.

Все вышеперечисленные построения изображены графически (см. Приложение, рис.1).

2.3 Построение траекторий движений характерных точек механизма

В заданном механизме наибольший интерес представляет нахождение траектории движения точки D, поскольку траектории движения точек В и С весьма просты. Траектория точки В – окружность с центром в точке А, траектория точки С – отрезок С'С''.

Итак, определим траекторию движения точки D. Для этого на окружности, которая является траекторией движения точки В, отметим 12 промежуточных положений этой точки, начиная с В'' (В₀,…,В₁₂) против часовой стрелки, тем самым разбив окружность на 12 равных частей.

Из точки В₁ делаем засечку на направляющей ползуна, величиной ВС, таким образом получим точку С₁. Затем, из точки С₁ делаем засечку величиной СD, а из точки В₁ делаем засечку длиной ВD, точка пересечения засечек – точка D_1. Соединив все полученные точки тонкими линиями, получим первое из 12 промежуточных положений механизма. Аналогичным образом строятся остальные промежуточные положения. После построения всех промежуточных положений, последовательно соединив точки D₁, D₂, D₃, ...,D₁₂ получим траекторию движения точки D.

Все вышеперечисленные построения изображены графически (см. Приложение, рис.1).

2.4 Определение скоростей характерных точек механизма методом плана скоростей.

Так как точка А принадлежит стойке, а все движения мы рассматриваем относительно стойки, то:

Движение звена 1 – переносно-поступательное вместе с точкой А и относительно-вращательное вокруг точки А:

Так как скорость точки А равна нулю, получим:

В свою очередь:

и направлен по ходу вращения.

Определим значение :

.

Теперь найдём :

.

Звено 2 совершает сложное плоское движение. В этом случае скорость точки С равна сумме скорости движения полюса (точки В) и скорости вращения точки С вокруг полюса:

направляющей ползуна,

в данном уравнении нам известен и по направлению и по величине вектор скорости точки В. А вектор скорости точки С относительно В направлен перпендикулярно ВС:

.

Неизвестную скорость V_CB найдем с помощью плана скоростей (см. Приложение, рис.2) предварительно выбрав масштабный коэффициент:

.

Точка в качестве плана скоростей выбирается произвольно, от нее откладываем отрезок (перпендикулярно АВ по направлению вращения) представляющий собой вектор скорости точки В. Значение найдём из соотношения:

.

Теперь, проведем через точку b прямую, имеющую направление вектора скорости , то есть перпендикулярно ВС. Из полюса плана скоростей проведем линию параллельно направляющей ползуна. Пересечение этих прямых и будет точка с. Тогда величину скорости точки С найдём следующим образом:

.

Зная величину отрезка bc на плане скоростей, можем найти относительной скорости :

.

Для нахождения вектора скорости точки D воспользуемся свойством подобия плана скоростей, которое гласит о том, что сходственные фигуры звеньев на плане механизма и плане скоростей подобны, отсюда следует, что BD подобна bd ,а BC подобна bc . Положение точки d на плане скоростей определим из соотношения длин отрезков подобных сторон, учитывая то, что :

Отложим отрезок величиной bd из точки b под углом , который известен из условия, таким образом, чтобы направление обхода точек на плане скоростей было такое же, как и на плане механизма. После этого соединим d с полюсом плана скоростей и найдём значение :

.

Найдём скорость точки – центра тяжести шатуна 2, он лежит на середине отрезка, соединяющего середины BD и DC. Снова применим свойство подобия плана скоростей: лежит на середине отрезка, соединяющего середины bd и dc.

.

Все вышеперечисленные построения изображены графически (см. Приложение, рис.2).

2.5 Определение угловых скоростей звеньев механизма методом плана скоростей.

Воспользовавшись планом скоростей, определим угловую скорость второго звена:

.

Направление угловой скорости звена определяется с помощью вектора относительной скорости каких либо двух точек этого звена. В нашем случае для определения направления переносим вектор с плана скоростей на план механизма в точку С и определяем направление вращения звена 2.

2.6 Определение ускорений характерных точек механизма методом плана ускорений.

Так как точка А неподвижна, то её ускорение равно нулю:

.

Движение первого звена представим как сумму переносно-поступательного вместе с точкой А и относительно-вращательного вокруг точки А:

.

Так как ускорение точки А равна нулю, получим:

.

Относительное ускорение распишем как сумму его нормальной и касательной составляющей:

.

Рассмотрим каждую составляющую отдельно:

, и направлен от B к A, .

Поскольку угловое ускорение первого звена равно нулю, так как , то касательная составляющая рассматриваемого ускорения равна нулю, поэтому окончательное выражение для примет вид:

, и направлен от В к А.

Найдём численное значение ускорения точки В:

.

Выберем масштабный коэффициент для плана ускорений .

Выберем полюс плана ускорений и отложим от неё отрезок , который равен: .

Рассматривая принадлежность точки С ко второму звену, представим её движение вместе с точкой В поступательно и одновременно вращательно относительно этой точки. Учитывая это, запишем:

,

как и в случае с точкой В распишем относительное ускорение на составляющие:

.

Рассмотрим каждую составляющую отдельно:

, и направлен от С к В,

.

Выражение для примет вид:

,

первые два слагаемых известны нам как по модулю, так и по направлению, в то время как применительно к мы знаем только направление, его величину можно найти графически.

.

Из точки b на плане ускорений проводим прямую параллельную ВС, на которой из точки b откладываем отрезок длиной bn, причём точка n должна быть отложена в направлении, соответствующем направлению от В к С на кинематической схеме механизма то есть направлению . Величина отрезка bn равняется:

.

Затем на плане ускорений из точки n проводим прямую, перпендикулярную ВС. Вектор ускорения точки С параллелен направляющей ползуна, это становится ясно из рассмотрения принадлежности точки С к третьему звену. Поэтому через полюс плана ускорений проводим прямую параллельную направляющей ползуна, пересечение этих прямых и есть точка с.

.

Соединяем с и находим ускорение точки С:

.

Для нахождения вектора ускорения точки D воспользуемся приёмом, аналогичным тому, что мы применяли для нахождения вектора скорости точки D, а именно свойством подобия плана ускорений, которое гласит о том, что сходственные фигуры звеньев на плане механизма и плане ускорений подобны, отсюда следует, что BD подобна bd, а BC подобна bc . Положение точки d на плане скоростей определим из соотношения длин отрезков подобных сторон, учитывая то, что :

Отложим отрезок величиной bd из точки b под углом , который известен из условия, таким образом, чтобы направление обхода точек на плане ускорений было такое же, как и на плане механизма. После этого соединим d с полюсом плана ускорений и найдём значение :

.

Найдём ускорения центров тяжести первого и второго звена.

Учитывая геометрические особенности первого звена и характер его движения, все выводы, сделанные выше, для нахождения ускорения точки В справедливы для ускорения центра тяжести первого звена , тогда:

, где

.

Найдём ускорение точки – центра тяжести шатуна 2, он лежит на середине отрезка, соединяющего середины BD и DC. Снова применим свойство подобия плана ускорений: лежит на середине отрезка, соединяющего середины bd и dc.

.

Все вышеперечисленные построения изображены графически (см. Приложение, рис.3).

2.7 Определение угловых ускорений звеньев механизма методом плана ускорений.

С помощью плана ускорений найдем угловое ускорение звена 2:

.

Направление определим следующим образом: переносим вектор c плана ускорений на план механизма, прикладывая его в точку С и определяем куда данный вектор вращает звено 2.

2.8 Аналитическая кинематика механизма.

Основной идеей кинематического анализа механизма аналитическим методом является построение математической модели кинематики механизма, основу которой составляют функция положения механизма, первая и вторая передаточная функция положения механизма.

2.8.1 Составление функции положения механизма.

Функция положения механизма – аналитическая зависимость координаты выходного звена от обобщённой координаты и внутренних геометрических параметров механизма. Применительно к нашему случаю обобщенной координатой является угол φ: , при φ = 68°, l₁ = l_AB=60мм, l₂ = l_BC=185мм.

Составление функции положения проведём методом замкнутого векторного контура. Для этого изобразим только основной кинематический контур механизма, то есть ту часть звена, которая участвует в преобразовании движения.

Преобразование системы координат нужно провести так, чтобы ось X была параллельна направляющей ползуна, начало координат было в стойке, а угол выражен через . А затем уже перейти на новую систему координат обобщенной координаты (см. рис. 2).

Рис. 2 Составление функции положения механизма

Спроецировав все силы на оси X и Y, составим функцию положения механизма:

Упростим:

; (1)

. (2)

Причём:

Из уравнения (2) имеем:

.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

,

полученное выражение подставим в (1) с учётом того, что , и найдем выражение для h:

.

Подставим в это выражение исходные данные:

.

2.8.2 Определение первой передаточной функции механизма.

Первая передаточная функция – это первая производная функции положения механизма по обобщенной координате. Первая передаточная функция является аналогом скорости:

.

Уравнение для получим путем дифференцирования уравнений (1) и (2) по обобщенной координате:

(3)

. (4)

Представим производную в следующем виде:

,

что называют передаточным отношением от шатуна 2 к кривошипу 1.

Выразим из уравнения (4) :

,

подставим в полученное выражение :

.

Подставим в это выражение исходные данные, и найдем значение :

.

Подставим в выражение (3) исходные значения, и найдем выражение для :

.

Определим с помощью первой передаточной функции скорость точки С:

.

2.8.3 Определение второй передаточной функции механизма.

Вторая передаточная функция – это вторая производная функции положения механизма по обобщенной координате. Вторая передаточная функция является аналогом ускорения:

Уравнение для второй передаточной функции получим через дифференцирование уравнений (3) и (4) по обобщенной координате:

(5)

. (6)

Из уравнения (6) выразим :

,

подставим численные значения в полученное выражение:

.

Подставим в выражение (5) исходные значения, и найдем :

.

Определим с помощью второй передаточной функции ускорение точки С:

Определим : .

Определим : .