Задание на работу

Сформулировать математические модели для решения двух задач и найти их решения.

Порядок выполнения работы

1. По своему варианту для задачи №1 сформулировать математическую модель в виде дифференциального уравнения.

2. Решить полученное в п. 1 уравнение аналитически или с помощью специального пакета математических программ (напр., Maple, Matlab, Mathematica).

3. Показать решение преподавателю.

4. Аналогично решить задачу №2 по своему варианту.

5. Оформить отчет по работе.

Варианты заданий

77-79, 80-82, 84-86, 91-93

Вариант 1

1. Сосуд объемом 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Построить математическую модель процесса. Считать, что втекающий газ вследствие перемешивания распределяется по всему объему сосуда равномерно. С помощью построенной модели определить, через какое время в сосуде будет 99% азота.

2. Тело охладилось за 10 мин от 100 до 60. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20. Построить математическую модель процесса. Считать, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С помощью построенной модели определить, через какое время тело остынет до 25.

Вариант 2

1. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 л соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Построить математическую модель процесса. Считать, что втекающая вода вследствие перемешивания распределяется по всему объему сосуда равномерно. С помощью построенной модели определить, сколько соли останется в баке через час.

2. За тридцать дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Построить математическую модель процесса. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени пропорционально количеству вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. С помощью построенной модели определить, через какое время останется 1% от первоначального количества вещества.

Вариант 3

1. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/с. Построить математическую модель процесса. Считать ускорение свободного падения равным 10 м/с². Изменением плотности воздуха с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. С помощью построенной модели определить, сколько времени парашютист падал до раскрытия парашюта.

2. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20, опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75. Через минуту вода нагрелась на 2. Построить математическую модель процесса. Считать, что скорость остывания (нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С помощью построенной модели определить, через какое время температура воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1. Потерями тепла на нагревание сосуда пренебречь

Вариант 4

1. В воздухе комнаты объемом 200 м³ содержится 0,15% углекислого газа. Вентилятор подает в минуту 20 м³ воздуха, содержащего 0,04% углекислого газа. Построить математическую модель процесса. Считать, что втекающий газ вследствие перемешивания распределяется по всему объему сосуда равномерно. С помощью построенной модели определить, через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое.

2. Футбольный мяч весом 0,4 кГ брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г при скорости 1 м/с. Построить математическую модель процесса. Считать ускорение свободного падения равным 10 м/с². Изменением плотности воздуха с высотой пренебречь. С помощью построенной модели определить, время подъема мяча и наибольшую высоту подъема.

Вариант 5

1. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Построить математическую модель процесса. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени пропорционально количеству вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. С помощью построенной модели определить, через сколько лет распадется половина имеющегося радия.

2. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от а градусов до b градусов. При разности температур печи и металла в Т градусов металл нагревается со скоростью kT градусов в минуту. Построить математическую модель процесса. Считать, что скорость нагревания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С помощью построенной модели определить температуру металла через час.

Вариант 6

1. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 1,5 м/c, через 4 секунды ее скорость – 1 м/с. Построить математическую модель процесса. С помощью построенной модели определить, какой путь может пройти лодка до остановки.

2. В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4,510⁹ лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Построить математическую модель процесса. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени пропорционально количеству вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. Считать, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). С помощью построенной модели определить возраст горной породы.