1.1.В соответствии с теоремой о конечном значении в преобразовании Лапласа:

Пусть g(t)=1(t)·g₀, где g₀=const, тогда .

Если W(p) – передаточная функция статической системы (ее числитель и знаменатель не имеют нулевых корней):

,

то - есть общий коэффициент передачи разомкнутой системы, называемый также добротностью.

Таким образом - установившаяся ошибка при постоянном входном сигнале. Эта ошибка тем меньше, чем больше добротность К. Для уменьшения ошибки вводят неединичную обратную связь, если она не нарушает устойчивости системы.

Если имеется передаточная функция астатической системы вида

где r – порядок астатизма, тогда

,

тогда ,

То есть в астатической системе установившаяся ошибка для постоянного входного воздействия равна нулю ( ).

Пусть теперь входной сигнал меняется по линейному закону c постоянной скоростью v:

Для статической системы:

,

то есть установившаяся ошибка неограниченно возрастает.

Для системы с астатизмом первого порядка:

,

т.e. величина установившейся ошибки пропорциональна скорости изменения входного сигнала и обратно пропорциональна коэффициенту передачи разомкнутой системы, который здесь будет называться добротностью по скорости.

Аналогично рассмотренному выше, предположим, что входное воздействие меняется с постоянным ускорением A₀ и его изображение определяется как:

Для системы с астатизмом первого порядка установившаяся ошибка неограниченно возрастает во времени. Для системы с астатизмом второго порядка она будет постоянной:

и для систем с более высоким порядком астатизма (r>2) эта ошибка стремится к нулю:

В следящих системах автоматического управления часто используется гармонический режим работы., при котором входное воздействие имеет вид:

,

где g_m и - постоянные или медленно меняющиеся амплитуда и частота сигнала.

В установившемся процессе в замкнутой системе также возникают гармонические колебания:

,

и точность системы можно оценить по амплитуде ошибки:

Если предположить, что x_m<<g_m , то

,

где -значение амплитудно–частотной характеристики на частоте .

Располагая логарифмической амплитудно–частотной характеристикой легко оценить способность системы работать с установившейся амплитудой ошибки, не превышающей заданную величину x_m на частоте :

.,

здесь L_giv – заданное значение логарифмической амплитудно–частотной характеристики [dB], которое называется контрольной точкой. Если действительная логарифмическая АЧХ расположена выше, чем точка L_giv

: ,

то система обеспечивает точность, заданную предельной амплитудой ошибки g_m.

Если входное воздействие как функция времени имеет произвольную, но медленно меняющуюся форму, то ошибку автоматической системы можно определить следующим образом. Как известно, изображение ошибки замкнутой автоматической системы имеет вид

Разложим передаточную функцию ошибки в ряд по возрастающим степеням:

(1)

Этот ряд сходится для малых значений

Переходя от изображения ошибки к ее оригиналу, получим формулу для вычисления ошибки для медленно меняющейся входной величины:

Коэффициенты c₀, c₁, c₂…называются коэффициентами ошибок. Они показывают, какая часть от величины, ее скорости, ускорения и т.д. составляет ошибку. Коэффициенты ошибок могут определяться либо как соответствующие производные передаточной функции ошибки по переменной р при р=0

,

либо простым делением числителя на знаменатель передаточной функции ошибки, так как она представляет собой рациональную дробь.

Например, если передаточную функцию представить в виде

то коэффициенты ошибок определяются так

.

Коэффициент c₀≠0 только для статических систем. Для систем с астатизмом первого порядка c₀=0; ; для систем с астатизмом второго порядка c₀=0; c₁=1; и т.д.

Пример:

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке:

Если управляющее воздействие будет иметь вид:

,

то установившаяся ошибка будет определяться формулой:

.

При вычислении установившейся ошибки можно воспользоваться символьными преобразованиями, выполняемыми с помощью системы MatLab.

5.3 Варианты заданий на работу

Определить установившуюся ошибку в замкнутой системе автоматического регулирования, включающей в качестве объекта управления одну из электрических машин (по вариантам):

1) Электродвигатель постоянного тока

2) Асинхронный электродвигатель переменного тока

3) Электрогенератор постоянного тока

4) Асинхронный генератор переменного тока

Характер и величина входного воздействия, а также параметры системы определяются преподавателем.

Подтвердить результат моделированием системы при заданном входном воздействии в пакете программ Simulink.

Повторить все описанные выше действия для гармонического возмущающего сигнала, воздействующего на заданный объект управления.

5.4 Контрольные вопросы

1. Назовите основные показатели качества в переходном и установившемся режимах.

2. Какая величина характеризует точность автоматической системы?

3. Какую теорему об изображении по Лапласу применяют для определения установившейся ошибки?

4. Что называется порядком астатизма системы и на что он влияет?

5. Чему пропорциональна установившаяся ошибка в статической системе?

6. Что понимают под добротностью системы регулирования?

7. Какова точность астатической системы регулирования при отработке управляющего воздействия постоянной величины?

8. Что называется коэффициентами ошибок и как они определяются?

9. Как определить амплитуду ошибки в гармоническом режиме по логарифмической АЧХ разомкнутой системы автоматического регулирования?

Лабораторная работа 6

Коррекция систем автоматического регулирования

6.1 Цель работы

Изучить методы коррекции линейных динамических систем. Получить практические навыки применения расчета последовательных корректирующих устройств в замкнутых системах.

6.2 Теоретические положения

Для повышения качества систем регулирования часто используются повышение порядка астатизма, повышение общего коэффициента передачи разомкнутого контура. Эти факторы обычно ведут к потере устойчивости и для обеспечения необходимых запасов устойчивости необходимо включать специальные корректирующие устройства (корректирующие звенья). Их можно разделить на последовательные, параллельные и устройства, образующие местную обратную связь.

Последовательная коррекция наиболее удобна для синтеза систем в частотной области, так как частотные характеристики таких корректирующих устройств можно непосредственно умножать (а в логарифмическом масштабе – складывать) с частотными характеристиками нескорректированной системы.

Рассмотрим наиболее распространенные типы последовательных корректирующих устройств, которые можно реализовать посредством эквивалентных схем пассивных четырехполюсников электрических RC – цепей.

1. Дифференцирующее звено с передаточной функцией:

(1)

Его частотные характеристики имеют вид:

Эквивалентная схема звена представлена на рис.6.1a, ЛАФЧХ – на рис.6.1b.

Параметры эквивалентной схемы вычисляются таким образом:

Это наиболее простое корректирующее звено для сдвига фазовой характеристики в положительную область (повышение устойчивости). Действие звена определяется величиной соотношения G₀ связанной с реальными параметрами R₁ и R₂.

2. Интегрирующее звено с передаточной функцией:

(2)

Частотные характеристики звена запишутся в виде:

ЛАФЧХ звена и его эквивалентная схема представлены на рис.6.2.

Параметры схемы вычисляются следующим образом

Обычно это звено используется для снижения амплитудной характеристики на высоких частотах, что улучшает защищенность системы от помех, а также может служить для уменьшения частоты среза ω_c системы.

3. Интегро-дифференцирующее звено (рис.6.3).

Его частотные характеристики имеют вид:

Параметры эквивалентной схемы получаются как:

Такое звено подавляет усиление в определенном диапазоне частот.

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка

В этой системе коэффициент добротности по скорости ограничен условием

,

при невыполнении которого теряется устойчивость. Дополним передаточную функцию разомкнутой системы последовательным дифференцирующим фильтром.

В итоге передаточная функция разомкнутой системы получит вид:

Положим для W_c(p) условие T₁=T_m, тогда

Составим характеристическое уравнение 1+W(p)=0:

,

которое даст нам условие устойчивости

Таким образом, варьируя величину G₀ можно получать устойчивую систему в широком диапазоне общего коэффициента передачи системы по скорости K.

Если мы располагаем некоторой логарифмической частотной характеристикой системы, то легко геометрически построить логарифмическую частотную характеристику корректирующего устройства как разность между располагаемой и желаемой частотными характеристиками. Используя далее связь между параметрами корректирующих цепей и расположением их частотных характеристик можно найти параметры устройств коррекции, обеспечивающих необходимые качества системы.

Покажем здесь основные требования, предъявляемые при построении желаемой ЛАФЧХ.

1. Низкочастотная область.

Эта часть частотной характеристики должна обеспечить заданную точность системы в установившемся режиме.

Если полезный входной сигнал имеет вид:

,

то для того, чтобы величина ошибки по амплитуде не превысила x_m необходимо обеспечить, чтобы низкочастотная ветвь ЛАЧХ проходила бы не ниже точки A_K с координатами

.

Используя условие минимизации установившейся ошибки для входных воздействий с постоянной скоростью и постоянным ускорением получаем запретную зону, в которую не должна заходить низкочастотная часть ЛАЧХ разомкнутой системы (рис.8.4).

2) Среднечастотная область.

Для следящих систем рекомендуется ЛАЧХ, проходящая в среднечастотной области с наклоном (-20dB/dec) в районе частоты среза ω_c.

Для того, чтобы обеспечить желаемые коэффициент колебательности системы M и соответствующие запасы устойчивости, следует изобразить вокруг точки пересечения ЛАЧХ с осью 0 dB (частота ω_c (L(ω_c)=0) (рис.6.4).) окружность, которая будет являться запрещенной зоной для фазовой частотной характеристики, если ось 0 dB совпадает с осью (-180^о). Если взять за базу точку , то можно получить значения постоянных времени ,

которые определяют границы среднечастотной области и, соответственно, изломы асимптотической ЛАЧХ.

3) Высокочастотная область.

Для зоны частот необходимо обеспечить максимальный отрицательный наклон ЛАЧХ, чтобы подавить помехи, которые обычно имеют характер высокочастотных шумов. Однако для частоты излома асимптотической ЛАЧХ q₀ следует принять во внимание реальную форму амплитудно-частотной характеристики, которая может иметь резонансный пик. Чтобы не произошло потери устойчивости, следует обеспечить некоторый запас по амплитуде на этой частоте:

Это влечет за собой введение дополнительной запретной зоны для амплитудно-частотной характеристики (рис.6.4).

Таким образом, получена желаемая амплитудно-частотная характеристика системы L_d(ω), которая используется при построении последовательных корректирующих устройств.

6.3 Варианты заданий на работу

Определить методом ЛАЧХ необходимое последовательное корректирующее устройство в замкнутой системе автоматического регулирования, включающей в качестве объекта управления одну из электрических машин (по вариантам):

1) Электродвигатель постоянного тока

2) Асинхронный электродвигатель переменного тока

3) Электрогенератор постоянного тока

4) Асинхронный генератор переменного тока

Корректирующее устройство должно обеспечить устойчивость системы и заданную установившуюся ошибку. Характер и величина входного воздействия, а также требуемые параметры системы определяются преподавателем.

Подтвердить результат моделированием скорректированной системы при заданном входном воздействии в пакете программ Simulink.

6.4 Контрольные вопросы

1. В чем суть основных принципов улучшения качества систем автоматического регулирования?

2. Какие методы служат для улучшения качества систем регулирования? Почему они снижают устойчивость?

3. Какие классы корректирующих устройств можно выделить по способу их включения в систему?

4. Почему последовательные корректирующие устройства удобнее для расчета?

5. Какие последовательные корректирующие фильтры используются в системах автоматического регулирования?

6. Как можно реализовать дифференцирующий фильтр?

7. Для чего используется интегро-дифференцирующий фильтр?

8. Изложите суть метода синтеза корректирующих устройств с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик.

9. Из каких соображений выбирается частота среза АЧХ?

10. Какие ограничения накладываются на логарифмическую АЧХ в областях низких, средних и высоких частот?