4. Проектування імітаційного експерименту

Після побудови імітаційної моделі перед операціоністом постає винятково складна задача, пов’язана з розробкою схеми програвання моделі й аналізом одержуваних експериментальних даних. Зокрема, необхідно визначити:

початкові умови модельованого процесу;

блоки параметрів, що описують різні аспекти функціонування системи;

часові характеристики моделі (число відрізків імітованого періоду та відповідний машинний час);

число прогонів імітаційної моделі при тих самих наборах параметрів, що описують систему;

перемінні, значення яких підлягають виміру, та способи їхнього виміру.

Далі обговоримо лише деякі з прийомів проектування імітаційних експериментів, що дозволяють використовувати багато методів, виклад яких можна знайти в сучасних підручниках по статистичній обробці експериментальних даних.

Крім того, дамо короткий огляд деяких методів статистичного аналізу, що особливо добре підходять для проектування машинного моделювання.

У пошуках „нормальності”. Нехай значення x_t (t = 1, 2, ..., q) є результати q послідовних вимірів значень випадкової перемінної під час сеансу імітування. Визначимо інтегральне за часом середнє значення х у такий спосіб:

(12.1)

Позначимо через μ так називане середнє по ансамблю значення х, знайдене за допомогою рівноважного розподілу. Тоді для досить великого q одержуємо:

(12.2)

Крім того, можна показати, що вибірковий розподіл є у деякому наближенні нормальним. Для даного розподілу оцінка дисперсії може бути отримана у такий спосіб. Якщо припустити, що маємо справу з ковариаційно-стаціонарним процесом (ковариація між x_t та x_t+k залежить лише від k і не залежить від t), а відповідні автокореляції при зростанні k прагнуть до нуля, то, насамперед, можна буде обчислити автокореляції по формулі

(12.3)

де М вибирається таким чином, щоб виконувалася умова М << q.

(На жаль, оцінку, що дозволила б судити про те, наскільки q повинно перевищувати М, одержати не так легко. Тому не зупиняємося тут на цьому питанні, відсилаючи читача до літератури по математичній статистиці, де відповідний матеріал розташований у розділах за назвою автокореляція і спектральний аналіз). Формула для оцінки дисперсії х має такий вигляд:

(12.4)

Помітимо, що якщо часові ряди не є автокорельованими, то члени, що містять r_k (k = 1, 2, ..., М) із співвідношення (12.4) випадають. При наявності ж позитивної автокореляції розкид значень у порівнянні з випадком безкореляційних вимірів (спостережень) виявляється великим.

Тепер можна перейти до розгляду двох методів статистичного аналізу, що одержали широке поширення. Один з них заснований на тривалому імітуванні досліджуваного процесу для кожного варіанта дисципліни черги (протягом кожного сеансу імітування робиться Т послідовних спостережень). Після цього можна скористатися співвідношеннями (12.1) – (12.4), поклавши q = Т. Якщо Т вибирається досить великим, статистичний розподіл є в деякому наближенні нормальним і приводить до нульового середнього значення та одиничної дисперсії. Це дозволяє виконати стандартні процедури статистичної обробки даних при аналізі гіпотетичної схеми функціонування досліджуваної системи, а також визначити довірчі інтервали для μ й провести аналіз моделі одним із сучасних методів, а саме методом Байеса. Щоб з’ясувати, яким чином позначається на середньому часі чекання вибір дисципліни черги, можна вдатися до допомоги звичайної математичної статистики. Вона дозволяє визначити різницю між середніми значеннями перемінних, кожна з яких характеризується „своїм” нормальним розподілом; при цьому може спостерігатися також різниця у розрахункових значеннях дисперсії.

Інший метод полягає в реалізації п незалежних прогонів моделі, тобто в п-кратному повторенні того самого циклу імітування. Нехай є бажання одержати в сумі Т спостережень при п-кратному прогоні моделі; припустимо, що число спостережень при кожному такому прогоні дорівнює T/n (допустимо, що T/n є цілим числом). Тоді для кожного р-го прогону за формулою (12.1) при q = T/n обчислюється інтегральне за часом середнє , після чого знаходиться сумарне середнє

(12.5)

Завдяки центральній граничній теоремі щодо середнього значення перемінних, які мають незалежні та ідентичні розподіли при досить великих значеннях п, вибірковий розподіл (для будь-якого T/n) виявляється у деякому наближенні нормальним. При зростанні значень T/n ступінь точності апроксимації підвищується, оскільки вибіркові розподіли самих для кожного значення р наближені до нормального. Більш того, з (12.2) походить, що при досить великих значеннях T/n

(12.6)

Щоб визначити компактність вибіркового розподілу , обчислимо відповідну дисперсію (у сенсі нормованого середньоквадратичного відхилення від х_р):

(12.7)

При цьому знову для досить великих п та Т величина має приблизно нормальний розподіл з нульовим середнім значенням та одиничною дисперсією. Отже, у даному випадку, можна провести статистичний аналіз такого ж типу, як і у випадку тривалого мультитестового імітування.

Таким чином, у багатьох випадках, коли робиться багаторазовий прогін моделі і потім або використовується сумарне середнє для множини індивідуальних інтегральних за часом середніх, або береться інтегральне за часом середнє для одного досить довгого прогону, обробку даних можна здійснювати, спираючись на закономірності нормального розподілу імовірностей.

Обсяг вибірки. Нехай число прогонів моделі є досить великим, або ж допустимо, що сеанс імітування є досить тривалим. Тоді для апроксимації вибіркового розподілу обчислених середніх значень тих або інших показників імітованого процесу можна скористатися нормальною функцією розподілу. Не виключено, що для підвищення ступеня точності аналізу при виробленні управляючого рішення знадобляться додаткові „програвання” моделі або виникне необхідність у збільшенні періоду імітування. Метод визначення необхідного обсягу вибірки при імітуванні нічим не відрізняється від методу визначення обсягу вибірки при рішенні звичайних статистичних задач. Таким чином, обговорення цього питання можна знайти в будь-якому підручнику по статистичному аналізу.

Але слідує підкреслити, що точність статистичних оцінок залежить від числа спостережень. Як у випадку одного тривалого прогону, коли використовуються співвідношення (12.1) – (12.4) при q = Т, так і у випадку n-кратного прогону моделі, коли використовуються співвідношення (12.5) – (12.7) при q = T/n, дійсна дисперсія вибіркового розподілу для розрахункового середнього зворотно пропорційна сумарному числу спостережень Т, причому коефіцієнт пропорційності не залежить від Т. Отже, щоб зменшити середньоквадратичне відхилення вибіркового розподілу або стосовно їхнього середнього значення, скажемо, у 10 разів, сумарне число спостережень необхідно збільшити у 100 разів (тобто Т → 100Т). Розглянемо найбільш загальний випадок. Нехай потрібно зменшити середньоквадратичне відхилення від середнього в f разів. Для цього число спостережень має бути збільшене в f² разів.

На початку імітаційного процесу необхідне число спостережень визначити звичайно не вдається, тому що коефіцієнти при 1/Т у виразах для дійсної дисперсії вибіркових розподілів та не відомі. Тому, як правило, експеримент проводять у два етапи. На першому етапі число спостережень вибирається відносно невеликим; у результаті здійснюється кількісна оцінка коефіцієнта при 1/Т. Маючи таку оцінку, можна визначити, скільки додаткових спостережень потрібно на другому етапі імітування, щоб була досягнута необхідна точність.

У практичних додатках методу імітаційного моделювання, як правило, приходиться мати справу з декількома операційними характеристиками досліджуваної системи і розглядати цілий ряд варіантів, що підлягають оцінці.

Розробка ефективного математичного апарата, орієнтованого на багатомірний аналіз та багатоаспектне експериментування, ведеться у двох напрямках. Один з найбільш перспективних методів, що знаходяться у стадії розробки, відомий за назвою спектрального аналізу. Він націлений на дослідження природи серіальної кореляції та періодичності (циклічності) часових послідовностей. Інші дослідження орієнтуються на пошук методів визначення оптимальних значень керованих перемінних; до числа таких методів відноситься метод чуттєвих поверхонь, а також метод стохастичної апроксимації. Виклад цих методів можна знайти в спеціальній літературі з математичної статистики.

• Запитання для самоконтролю

1. Що таке імітаційне моделювання ?

2. В чому полягає імітаційний підхід задачі організаційного управління ?

3. В чому полягає побудова імітаційної моделі ?

4. В чому полягає проектування імітаційного експерименту ?

228