Решение варианта 1.

Задача 1.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности (контент, п.1.3.1.).

Событие А – номер набран верно.

Р(А)=

где , так как только один вариант набора верен, всего таких вариантов

Ответ: Р(А)=

Задача 2.

События: - попасть в первую зону; - попасть во вторую зону; - попасть в третью зону; А – попасть в первую или третью зоны; В – промах по мишени.

а) Так как события и несовместны, используем теорему сложения для несовместных событий (контент, формула 2.2.3).

Р(А)= 0,1+0,4=0,5.

б) События , и независимы используем формулу умножения вероятностей для независимых событий (контент, формула 2.1.4).

Р(В)= =(1-0,1)∙(1-0,35)∙(1-0,4)=0,9∙0,65∙0,6=0,351.

Ответ: Р(А)=0,5; Р(В)=0,351.

Задача 3.

Для решения задачи используем формулу Бернулли (контент, п.3.1.1).

Ответ: вероятность того, что герб выпадет 3 раза из 5 равна 0,3125.

Задача 4.

Для решения задачи воспользуемся определением и свойствами математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины (контент, §4.4).

а) =0∙0,1+1∙0,4+2∙0,3+3∙0,2+2=3,6.

б) =0,84.

Ответ: М(ξ+2)=3,6; D(ξ+2)=0,84.

Задача 5.

Для решения задачи воспользуемся одним из свойств функции распределения (контент,§5.1).

Ответ: вероятность того, что ξ меньше 0 равна 0,5.

Задача 6.

Для построения рядов распределения случайных величин и воспользуемся формулами 8.2.2 (контент, § 8.2).

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

	0	5	10
	0,4	0,35	0,25

Ряд распределения имеет вид:

	2	4
	0,45	0,55

Задача 7.

Для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа (контент, теорема 3.4.1).

Значения функции берём из таблицы 12.1 контента.

Ответ: вероятность того, что стрелок попадёт 325 раз 400 равна 0,0409.

Задача 8.

Построение сгруппированного ряда для дискретного признака подробно описано в § 9.2 контента. Составим таблицу, в которой перечислим варианты и их частоты.

	1	2	3	4	5	6
	3	4	3	5	4	1

Для определения выборочных характеристик воспользуемся формулами приведёнными в § 9.5.

Ответ: средний разряд рабочего равен 3,3 при среднем квадратическом отклонении 1,49.

Задача 9.

В этой задаче требуется построить доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении (контент, п.10.2.1).

Параметр определяем из равенства: Для нахождения используем таблицу 12.2.

Ответ: средняя величина потерь находится в границах (1,702;1,898).

Задача 10.

В качестве основной гипотезы будем рассматривать гипотезу : . Для её проверки воспользуемся критерием Пирсона, алгоритм использования которого изложен в § 11.2.

Начнём решение задачи с определения выборочных характеристик.

Для определения составим таблицу.

Интервалы,	Частоты,
-∞-200	10	0,0446	0,13
200-210	26	0,1421	0,21
210-220	56	0,2814	0,0013
220-230	64	0,2992	0,289
230-240	30	0,1709	0,511
240-+∞	14	0,0614	0,241

Например,

Для определения критической точки воспользуемся таблицей 12.4 критических точек распределения хи-квадрат. Так как неизвестные параметры распределения были заменены их точечными оценками, число степеней свободы будет на 3 меньше числа интервалов, то есть . Итак,

Так как , то гипотеза принимается.

Ответ: данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения.