- •Тема: Регресійні моделі Теоретична і розрахункова моделі
- •Дисперсійний аналіз моделі
- •Лабораторна робота №1 «Економетрична модель простої парної регресії»
- •1. Постановка задачі.
- •3. Розрахунок моделей
- •Знаходження оцінок параметрів моделі методом найменших квадратів
- •5. Графік моделі у „хмарі” розсіювання
- •6. Дисперсійний аналіз лінійної моделі:
- •7. Значущість оцінок параметрів і моделі:
- •8. Прогноз:
- •9. Аналіз лінійної моделі:
Тема: Регресійні моделі Теоретична і розрахункова моделі
Теоретична лінійна модель Y = a0 + a1·x + u ,
розрахункова модель Yр= â0+â1·x+ u^,
де â0 , â1, u – відповідні оцінки, наближені значення параметрів теоретичної моделі
â0 a0, â1· a1, u^ u
В цьому рівнянні коефіцієнт a1 – це частинний коефіцієнт регресії, який характеризує чутливість величини у до зміни фактора х – вплив змінної x на зміну умовного математичного сподівання : як зміниться величина фактора Y за умов збільшення фактора Х на одну одиницю.
у Yт
Yр
Yі(т) u
Yі u^
Ŷі (р)
xі х
Бажано, щоб ui^ є N (0, 2) - мали б нормальний закон розподілу.
Метод найменших квадратiв
Метод найменших квадратів – метод розрахунку параметрів моделі Yр= â0 + â1·x + ui^ .
Ідея методу базується на тому, що величина uі має буде мінімальною:
= ∑(yi - ỳ) або ∑(yi - ỳ)2 або ∑│yi - ỳ│ min.
Краще всього в ролі функції оцінки відхилень взяти суму квадратів відхилень кожної точки від свого розрахункового значення
Q (â0 , â1) = = ∑(yi - ỳi)2 = ∑( yi – (â0 + â1·xі+ u^i))2.
Ця функція має min значення в тих точках, де частинні похідні по змінних â0, â1l дорівнюватимуть нулю:
=0, ( yi – (â0 + â1·xі))(-1) = 0, ∑ yі – ∑â0 – ∑ â1·xі = 0,
=0 (( yi – (â0+ â1·xі))(- xi)=0 ∑ yі·хі – â0 ∑ хі – â1 ∑ ·xі2 =0,
З аписується остаточна система рівнянь: n â0 + â1 ∑ ·xі = ∑ yі ,
â0 ∑ хі + â1 ∑ ·xі2 =∑ yі·хі ,
n – кількість спостережень.
Розв’язання системи рівнянь проводиться за допомогою оберненої матриці або за правилом Крамера. Основний визначник системи , тому існує єдиний розв'язок системи: . З цього випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середні значення показника Y та фактора X.
ả1 = = = .
Ця рівність означає, що коефіцієнт ả1 моделі ПЛР дорівнює відношенню кореляційного моменту до дисперсії фактора Х і дорівнює тангенсу кута між лінією регресії і віссю ОХ.
ả0 = = .
Середнє значення прогнозу показника Y р при значенні фактора Хр визначається за формулою = ả0 + ả1