Основные понятия теории вероятностей.
Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Пример: Появление герба при бросании монеты;
Чтобы количественно складывать между собой события по степени их возможности, нужно каждое событие связать с определенным числом, которое тем больше, чем больше возможность события. Такое число называется вероятностью.
Достоверное событие имеет вероятность =1, невозможное = 0.
Для того, чтобы оценить вероятность возникновения события, необходимо, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и были объективно одинаково возможными.
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.
Пример: Попадание и промах при выстреле;
Несколько событий называются несовместными, если никакие 2 из них не могут появиться вместе.
Пример: Появление 1, 2, 3 очков при однократном бросании игральной кости.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.
Пример: Появление шара с номером 1 или 2 или 3 при вынимании его из корзины с десятью пронумерованными шарами.
Существуют группы событий, обладающие всеми 3 свойствами. Такие события называются случаями. Если какой-либо опыт по своей структуре обладает симметрией всевозможных исходов, то он сводится к схеме случаев.
Случай называется благоприятным некоторому событию, если его появление влечет за собой появление данного события.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания.
Если
наш опыт подчиняется схеме случаев, то
вероятность схемы
вычисляется как отношение числа
благоприятных случаев к общему числу
случаев. Здесь предполагается, что
элементарные случаи единственно
возможные и равновозможные.
Вероятность достоверного события = 1, невозможного = 0.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.
Пример: В урне лежат 6 одинаковых шаров, при чём 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Найти вероятность вытащить цветной шар, то есть не белый.
Решение: Пусть событие А – это появление (извлечение из урны) цветного шара. Е1 – появился белый шар, Е2, Е3 – появился красный шар, Е4, Е5, Е6 – появился синий шар.
Очевидно, что эти исходы единственно возможны (обязательно появится 1 шар) и равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Согласно условию задачи, благоприятными исходами будем считать Е2, Е3, Е4, Е5 и Е6.
По формуле классической вероятности получим:
m = 2 + 3 = 5
n = 2 + 3 +1 = 6
Частота и статистическая вероятность.
Относительной частотой А называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к общему числу опытов.
m – число появлений события А
n – общее число испытаний
В отличие от вероятности события, относительную частоту вычисляют после опыта.
Пример: По цели произвели 10 выстрелов, причём было зарегистрировано 3 попадания. Относительная частота поражения цели равна:
Если опытным путём установлена относительная частота, то полученное число можно принять за статистическую вероятность P*(A).
Пример: Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлечённого жетона, не содержит цифры 5.
Решение: Из 100 чисел цифру 5 содержат 19 чисел, а именно 5,15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95. Значит остаётся 81 число без цифры 5. Получаем, что
m = 81
n = 100
P(A) = 0,81.