92-Образование винтовой поверхности

Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой.  В технике часто встречаются винтовые поверхности, образованные при винтовом движении прямой. Такие поверхности называются геликоидами. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°.Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что они могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство обеспечивает винтовым поверхностям широкое применение: винты, шнеки, сверла, пружины, поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочие органы судовых движителей, конструкции винтовых линий и др. Винтовые поверхности, и в частности прямой и наклонный геликоиды, широко применяются в технике. Этими поверхностями ограничены червяки (в червячных передачах) винты, болты и т.п.

Тело ограниченное цилиндрическим и винтовыми поверхностями называют винтом. На рисунке показаны различные профили винтов. Винт прямоугольного профиля (а) ограничен двумя цилиндрическими поверхностями и двумя прямыми геликоидами, треугольного (b) – двумя наклонными геликоидами и, наконец, упорного (c) – цилиндрического поверхностного, ограниченного прямым геликоидом и наклонным геликоидом.

Поверхности вращения обладают некоторыми важными свойствами, использующими в процессе конструирования деталей различных машин и механизмов. Например, свойством сдвигаемости, состоящим в том, что поверхность вращения может, вращаясь вокруг оси, сдвигаться без деформации вдоль самой себя.

93-Линейчатая поверхность

В дифференциальной геометрии, линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если p(u) ― радиус-вектор направляющей, a m = m(v) ― единичный вектор образующей, проходящей через p(u), то радиус-вектор линейчатой поверхности есть

r = p(u) + vm(u),

где v ― координата точки на образующей.

[править]Свойства

• Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.

• Гауссова кривизна линейчатой поверхности  .

• Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.

• Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность F, не являющаяся развертывающейся, изгибается в линейчатую поверхность F', то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.

• Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.

• Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.

• Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.

94-Поверхности параллельного переноса

Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l₁,l₂… линии l, перемещающейся в пространстве по определенному закону (рис.8.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму - изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в одной линии или целого семейства линий (m, n, p...). Подвижную линию принято называтьобразующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество, линий конгруэнтных профилю резца.

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на так называемыеразвертывающие, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость инеразвертывающиеся.

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Это так называемые циклические поверхности (рис.8.2).

Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

Поверхности вращения;

Винтовые поверхности;

Поверхности с плоскостью параллелизма;

Поверхности переноса.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают ее форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

95-Линия принадлежащая повеверхности

Известно, что в общем случае проекция прямой есть прямая, и для построения проекции линии на каждую плоскость достаточно простроить проекции двух ее точек.

Прямая общего положения - это прямая , не паралелльная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Две проекции прямой одннозначно определяют е╠ положение в пространстве.

Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

Прямые частного положения.

Прямой уровня называется прямая, паралелльная какой-либо одной плоскости проекций.

Классификация:

Горизонталь - прямая, паралелльная П₁.

Фронталь - прямая, паралелльная П₂.

Профиаль - прямая, паралелльная П₃.

Проецирующие прямые.

- это такие прямые, которые перпендикулярны какой-либо одной плоскости проекций.

Горизонтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная плоскости П₁.

Фронтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная плоскости П₂.

Профильно-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная плоскости П₃.

96-построения точки пересечения линии с поверхностью

Развертка боковой поверхности такой призмы осуществляется способом раскатки. Этот способ заключается в следующем. Сначала, как и в предыдущем примере, преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций.

Построение точек пересечения линии и поверхности

В зависимости от вида и взаимного расположения линии и поверхности точек их пересечения может быть одна или несколько. Например, прямая линия с алгебраической поверхностью n-го порядка пересекается в n точках. В основу их построения положен способ вспомогательных поверхностей, сущность которого состоит в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, принадлежащих вспомогательной поверхности. 

Одна из них является заданной линией, а вторая - линией пересечения вспомогательной и заданной поверхностей. В соответствии с этим построение точек пересечения линии l и поверхности Ф (независимо от их вида) осуществляется по следующей общей схеме (1. Через данную линию l проводим вспомогательную  поверхность  . 2. Определяем линию m пересечения вспомогательной   и заданной Ф поверхностей. 3. Отмечаем точку А пересечения линий l и m, которая и является искомой. В символической записи схема имеет вид: 1) проводим   l; 2) определяем m =   Ф; 3) отмечаем А = l   m = l   Ф.

97-Определение точек пересечения прямой линии с поверхностью конуса. а) В задаче (рис. 4.30) требуется определить точки М и N пересечения горизонтали h с поверхностью конуса вращения Ф. В данном случае целесообразно через прямую h провести горизонтальную плоскость уровня Г, так как такая плоскость пересечет поверхность конуса по параллели m, которая спроецируется на П₁ без искажения. Р ис. 4.30

Алгоритм: 1) Г   h, Г   П₁; 2) m = Ф   Г; 3) М = m   h; N = m   h. Графическая реализация алгоритма понятна из чертежа. б) В задаче (рис. 4.31) требуется определить точки М и N пересечения прямой l общего положения с поверхностью Ф эллиптического конуса. Применение в качестве вспомогательной проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.  Р ис. 4.31

Плоскость же общего положения, проходящая через вершину конуса и прямую l, пересечет его по образующим. Алгоритм:  1)  (l   m);   S, так как m   S; 2)   Ф = S4 и S5; 3) М = (S5)   l = Ф   l; N = (S4)   l = Ф   l. Построение. Реализация алгоритма показана на рис. 4.31, б. Для определения образующих S4 и S5, по которым плоскость   пересекает поверхность Ф конуса, предварительно построена линия 2 - 3 пересечения плоскости   с плоскостью   основания конуса. Найдены горизонтальные проекции 4₁ и 5₁ точек 4 и 5 пересечения прямой (2 - 3) с окружностью основания конуса, построены горизонтальные проекции (К₁4₁) и (S₁5₁) образующих (S4) и (S5), и найдены проекции М₁ и N₁ а затем по линиям связи - проекции М₂ и N₂ точек М и N.

Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру - ее разверткой. 

98-очки принадлежащей поверхности найти точку на поверхности

Дано:

1. Поверхность Ф , заданная проекциями каркаса состоящего из образующих l   и направляющих n.

2. Проекция точки К₁, принадлежащей поверхности Ф.

Алгоритм решения задачи:

1. Через заданную проекцию точки К₁ проводим одноименную проекцию произвольной вспомогательной линии, принадлежащей поверхностиm₁.

2. Находим точки  1₁, 2₁, 3₁, 4₁, пересечения проекции линии m₁ с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий  l¹₁,  l ²₁,  l ³₁,  l ⁴₁.

3. По линиям связи находим проекции точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ как точки, лежащие на  проекциях образующих каркаса соответственно l ¹₂,  l ²₂,  l³₂,  l ⁴₂   и определяющих положение проекции линии m₂ на поверхности Ф.

4. По линии связи находим положение проекции точки К₂, как точку, принадлежащую вспомогательной линии m₂.

99-построить линию пересечения проецирующей плоскости с поверхностью

Пусть даны горизонтально проецирующая плоскость   и прямая l общего положения (рис. 4.23, а). Точка К пересечения прямой l с плоскостью   принадлежит одновременно и прямой l и плоскости  . Следовательно, горизонтальная проекция К₁ точки К должна принадлежать одновременно горизонтальной проекции l₁ прямой l и горизонтальной проекции  ₁ плоскости  , т. е. К₁ = l_{1 1} (рис. 4.23, б). Фронтальная проекция К₂ точки К находится по линии связи на фронтальной проекции l₂ прямой l на основании принадлежности точки К прямой l.  Р ис. 4.23

Если даны фронтально проецирующая плоскость   и пересекающая ее прямая m общего положения (чертеж задайте самостоятельно), то К_{2 2} и К₂  m₂, т. е. К₂ =  ₂  m₂; К₁ находится по линии связи из условия, что К₁  m₁. Проделайте это построение на чертеже.

Задача 2. Построение линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью. Пусть даны плоскость Г(а   b) общего положения и горизонтально проецирующая плоскость   (рис. 4.24). Искомая линия k пересечения двух плоскостей Г и   является прямой и, следовательно, определяется двумя точками 1 и 2, одновременно принадлежащими этим плоскостям. Р ис. 4.24

Найдем точки 1 и 2 как точки пересечения прямых а и b, задающих плоскость Г, с плоскостью  : l = а   и 2 = b  , т. е. дважды решим предыдущую задачу. Горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ точек 1 и 2 определяют горизонтальную проекцию k₁ прямой k(k₁ =  ₁). Соединив прямой фронтальные проекции 1₂ и 2₂, получим фронтальную проекцию k₂ искомой прямой k. Если даны плоскость Г(а   b) общего положения и фронтально проецирующая плоскость   (чертеж задайте самостоятельно), то для построения линии k(1, 2) = Г   найдем точки 1 = а   и 2 = b  . Проделайте это построение самостоятельно.

100-пересечения поверхности и плоскости общего положения