- •1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •2. Матрицы. Равенство матриц. Операции над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение матриц
- •3. Определители 2-ого и 3-его порядков: их определения и свойства
- •4. Обратная матрица: определение, необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы для квадратных матриц второго и третьего порядков
- •5. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений
- •6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •7. Определение свободного вектора
- •8. Сложение векторов и умножение их на число
- •9. Базис пространства векторов. Координаты вектора в базисе
- •10. Скалярное произведение и его свойства
- •11. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Длина вектора, угол между векторами.
- •12. Прямоугольная система координат в пространстве и на плоскости. Расстояние между двумя точками
- •13. Различные формы уравнения прямой на плоскости
- •14. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение точки пересечения, угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •15. Вывод канонического уравнения окружности
- •16. Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства
- •17. Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •18. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •19. Плоскость
- •20. Вывод канонического уравнения сферы. Шар. Эллипсоид
- •21. Определение линейного пространства строк
- •22. Линейная независимость и линейная зависимость векторов: определения, примеры
- •23. Базис линейного пространства, его свойства. Координаты вектора в базисе
- •24. Ранг матрицы и методы его нахождения
- •25. Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства
- •26. Ортонормированный базис
- •27. Определения отображения и линейного преобразования. Примеры
- •28. Матрица линейного преобразования
- •29. Собственные векторы матрицы: определение, метод нахождения
25. Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства
Евклидово пространство – это линейное пространство со скалярным произведением.
Определение
Пусть - стандартный базис ("бегущая единица"). Пусть . Тогда
Скалярным произведением называется число
(*)
Свойства
1.
2. (доказательство: )
3.
4. ,
Что дает скалярное произведение?
I. Длина вектора :
Свойства
1. ,
2.
3. Нормирование вектора : , .
II. Неравенство Коши-Буняковского
Для
, причем и коллинеарны ( или )
Следствие
1. - неравенство треугольника
2. При
(1)
Из (1)
[_]
26. Ортонормированный базис
Определение
Пусть . и называются ортогональными ( ) ( )
Определение
Система называется ортонормированной, если она состоит из попарно перпендикулярных векторов длины 1.
при и или
Теорема
Любая ортогональная система в линейно независима.
Доказательство
Пусть
(*)
Умножим (*) скалярно на :
Аналогично, умножив (*) на , получим и т.д. Получили, что .
Следствие
Ортонормированная система из векторов является ортонормированным базисом .
Теорема
Пусть - ортонормированный базис в .
,
Тогда
[_]
27. Определения отображения и линейного преобразования. Примеры
Определение
Пусть - множества (возможно ). Отображение это закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Обозначается .
Пример
Числовая функция с областью определения - это отображение .
Определение
Пусть - линейное (евклидово) пространство. Отображение называется линейным преобразованием, если для и
1.
2.
Следствия
(док-во: )
Пример
Числовая функция является линейным преобразованием:
1.
2.
[_]
28. Матрица линейного преобразования
Пусть : - базис в . Пусть
Будем обозначать
Пусть для каждого разложение по :
Матрицей линейного преобразования называется матрица
,
т.е. матрица, по столбцам которой записаны координаты в базисе .
Доказывается, что для
[_]
29. Собственные векторы матрицы: определение, метод нахождения
Пусть - квадратная матрица , . Пусть - записанный в столбец вектор . Тогда имеет размерность - то есть это тоже вектор из .
Определение
Вектор из называется собственным вектором (СВ) квадратной матрицы порядка , если
,
где - некоторое число, называемое собственным значением (СЗ) СВ .
Почему СВ ?
для любого ,
т.е. был бы СВ с любым СЗ .
Метод нахождения
Пусть - квадратная матрица порядка 3. Ищем СВ в виде , где - неизвестные и , так как это СВ.
Можно записать
Таким образом, мы получили матричный вид однородной СЛУ с неизвестными :
(*)
Очевидно, что вектор является решением этой системы. По правилу Крамера, если , то система имеет единственное решение – вектор , но по определению не может быть СВ. Значит для нахождения СВ необходимо, чтобы
Определение
Пусть - квадратная матрица . Тогда
Называется характеристическим многочленом матрицы . Степень этого многочлена .
СВ матрицы существуют только для тех , которые являются корнями характеристического многочлена этой матрицы. Поэтому
1. Находим характеристический многочлен матрицы
и его корни - СЗ матрицы .
2. Подставляем в (*) . Общее решение этой СЛУ – множество всех СВ для СЗ .
3. Берем и т.д.
[_]