19 Билет Примитивно рекурсивные функции (определение и примеры)

Рекурси́вная фу́нкция (от лат. recursio — возвращение) — это числовая функция f(n) числового аргумента, которая в своей записи содержит себя же. Такая запись позволяет вычислять значения f(n) на основе значений  , подобно рассуждению по индукции

Примитивно рекурсивная функция — вычислимая функция нескольких натуральных переменных, частный случай рекурсивной функции.

ПримерыПравить

Укажем на ряд широко известных арифметических функций, допускающих рассмотрение в качестве примитивно рекурсивных.

• Сложение двух натуральных чисел может быть рассмотрено в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям   и f, вторая из которых получается подстановкой основной функции   в основную функцию S:

+ (x,0) = x;

+ (x,y + 1) = f(x,y, + (x,y));

.

• Умножение двух натуральных чисел может быть рассмотрено в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям O и f, вторая из которых получается подстановкой основных функций   и   в функцию сложения:

;

;

.

• Симметрическая разность (абсолютная величина разности) двух натуральных чисел может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения следующих подстановок и примитивных рекурсий:

− (x,y) = + ( − ₁(x,y), − ₂(x,y));

;

;

;

;

БИЛЕТ 20 Общерекурсивные функции (определение и примеры).

Общерекурсивная функция — частично рекурсивная функция, определённая для всех значений аргументов. Задача определения того, является ли частично рекурсивная функция с данным описанием общерекурсивной или нет, алгоритмически неразрешима.

БИЛЕТ 18 Частично рекурсивные функции. Тезис Чёрча.

Те́зис Чёрча — Тью́ринга — фундаментальное эвристическое утверждение, существенное для многих областей науки, в том числе, для математической логики, теории доказательств, информатики, кибернетики, дающее интуитивное понятие о вычислимости. Это утверждение было высказано Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов.

В терминах теории рекурсии, это утверждение формулируется как совпадение классов вычислимых и частично рекурсивных функций. В этой формулировке часто упоминается как просто тезис Чёрча.

В терминах вычислимости по Тьюрингу, тезис гласит, что для любой интуитивно вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. Иногда в такой формулировке фигурирует как тезис Тьюринга. В виду того, что классы частично вычислимых по Тьюрингу и частично рекурсивных функций совпадают, утверждение объединяют в единый тезис Чёрча — Тьюринга.

Тезис Чёрча — Тьюринга невозможно строго доказать или опровергнуть, поскольку он устанавливает эквивалентность между строго формализованным понятиемчастично вычислимой функции и неформальным понятием вычислимости.

Позднее были сформулированы другие практические варианты утверждения:

• физический тезис Чёрча — Тьюринга: любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга;

• Сильный тезис Чёрча — Тьюринга (тезис Чёрча — Тьюринга — Дойча): любой конечный физический процесс, не использующий аппарат, связанный с непрерывностью и бесконечностью, может быть вычислен физическим устройством.

БИЛЕТ 17. Машина Тьюринга

В 1936 г. Аланом Тьюрингом для уточнения понятия алгоритма был предложенабстрактный универсальный исполнитель. Его абстрактность заключается в том, что он представляет собой логическую вычислительную конструкцию, а не реальную вычислительную машину. Термин «универсальный исполнитель» говорит о том, что данный исполнитель может имитировать любой другой исполнитель. Например, операции, которые выполняют реальные вычислительные машины можно имитировать на универсальном исполнителе. В последствие, придуманная Тьюрингом вычислительная конструкция была названа машиной Тьюринга. Кроме того, предполагается, что универсальный исполнитель должен уметь доказывать существование или отсутствие алгоритма для той или иной задачи.

Что собой представляет машина Тьюринга?

Машина Тьюринга состоит из бесконечной в обе стороны ленты, разделенной на ячейки, и автомата (головки), которая управляется программой. Программы для машин Тьюринга записываются в виде таблицы, где первые столбец и строка содержат буквы внешнего алфавита и возможные внутренние состояния автомата (внутренний алфавит). Содержимое таблицы представляет собой команды для машины Тьюринга. Буква, которую считывает головка в ячейке (над которой она находится в данный момент), и внутренне состояние головки определяют, какую команду нужно выполнить. Команда определяется пересечением символов внешнего и внутреннего алфавитов в таблице.

Чтобы задать конкретную машину Тьюринга, требуется описать для нее следующие составляющие:

• Внешний алфавит. Конечное множество (например, А), элементы которого называются буквами (символами). Одна из букв этого алфавита (например, а₀) должна представлять собой пустой символ.

• Внутренний алфавит. Конечное множество состояний головки (автомата). Одно из состояний (например, q₁) должно быть начальным (запускающим программу). Еще одно из состояний (q₀) должно быть конечным (завершающим программу) – состояние останова.

• Таблица переходов. Описание поведения автомата (головки) в зависимости от состояния и считанного символа.

Автомат машины Тьюринга в процессе своей работы может выполнять следующие действия:

• Записывать символ внешнего алфавита в ячейку (в том числе и пустой), заменяя находившийся в ней (в том числе и пустой).

• Передвигаться на одну ячейку влево или вправо.

• Менять свое внутреннее состояние.

Одна команда для машины Тьюринга как раз и представляет собой конкретную комбинацию этих трех составляющих: указаний, какой символ записать в ячейку (над которой стоит автомат), куда передвинуться и в какое состояние перейти. Хотя команда может содержать и не все составляющие (например, не менять символ, не передвигаться или не менять внутреннего состояния).

Пример работы машины Тьюринга

Допустим, на ленте есть слово, состоящее из символов #, $, 1 и 0. Требуется заменить все символы # и $ на нули. В момент запуска головка находится над первой буквой слова слева. Завершается программа тогда, когда головка оказывается над пустым символом после самой правой буквы слова. Примечание: длина слова и последовательность символов значения не имеют. На рисунке приводится пример последовательности выполнения команд для конкретного случая. Если на ленте будет другое слово, то и последовательность выполнения команд будет другой. Несмотря на это, данная программа для машины Тьюринга (на рисунке – таблица слева) применима к любым словам описанного внешнего алфавита (соблюдается свойство применимости алгоритма ко всем однотипным задачам – массовость).

БИЛЕТ 16. Определение понятий «граф», «инцидентность», «смежность», «степень вершины».

Определение. Если е = {v, w} – ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра е; в этом случае также говорят, что ребро е соединяет вершины v, w.

Определение. Если е = {v, w} – дуга орграфа, то вершина v называется началом, а вершина w – концом дуги е; в этом случае также говорят, что дуга е исходит из вершины v и заходит в вершину w.

Между элементами множества вершин и множества ребер определено отношение инцидентности. Говорят, что ребро еинцидентно вершинам v, w, если оно соединяет эти вершины и наоборот, каждая из вершин v, w инцидентна ребру е.

Определение. Две вершины называются смежными, если существует ребро, концами которого они являются. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Определение.Степенью вершины v графа G называется число d(v) ребер графа, которым инцидентна эта вершина.

Определение. Вершина, локальная степень которой равна 0, называется изолированной; степень которой равна 1 –висячей.

Замечание. В случае неориентированного псевдографа  обычно считается, что  вклад каждой петли, инцидентной некоторой вершине v, равен 2 (тогда как вклад любого другого ребра, инцидентного вершине v, равен 1).

Определение.Полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа D называется число d⁺(v) (d ^-(v)) дуг орграфа D, исходящих из вершины v (заходящих в вершину v).

Замечание. В случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли, инцидентной некоторой вершине v, равен 1, как в d⁺(v), так и в d ^-(v).

Количество вершин  и ребер в графе G обозначим соответственно через n(G)  и m(G), а количество вершин и дуг в орграфе D – через n(D) и  m(D).

БИЛЕТ 12. Матрица смежностей

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы.