Определение

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ijравно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности A. Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, так что, в зависимости от конкретных приложений, элемент a₁₁ может считаться равным либо единице (как показано ниже), либо 0.

Граф	Матрица смежности

• Матрица смежности полного графа K_n содержит единицы во всех своих элементах, кроме главной диагонали, на которой расположены нули.

• Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

Билет 12 Алгоритмы Маркова

Суть этих самых алгоритмов Маркова в следующем. Задача для алгоритмов Маркова ставится в виде: найти алгоритм (написать программу) переводящую любую строку S (заданную на некотором алфавите (т.е. наборе символов, которые могут в нее входить)) из некоторого допустимого множества входных строк в строку f(S). Т.е., построить программу - преобразователь строк, выполняющую некое преобразование. Например: перевести все буквы в строке в верхний регистр, инвертировать регистр, перевернуть строку задом-наперед (reverse), и даже такую задачу: из строкового представления десятичного числа получить строковое представление числа на единицу больше (или в 2 раза больше).

Билет 8. Понятия: «функция», «инъекция», «сюръекция», «биекция». Примеры.

Отображение   называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на  ), если каждый элемент множества   является образом хотя бы одного элемента множества  , то есть  . Для случаячисловых функций это выражается как «функция, принимающая все возможные значения».

Примеры

1.  — сюръективно.

2.  — сюръективно.

3.  — не является сюръективным (например, не существует такого  , что  ).

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Примеры

• Тождественное отображение   на множестве   биективно.

•  — биективные функции из   в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из   в себя.

•  — биективная функция из   в  .

•  не является биективной функцией, если считать её определённой на всём  .

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x₁, x₂  X, для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂. (рис. 7)