- •1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •2. Матрицы. Равенство матриц. Операции над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение матриц
- •3. Определители 2-ого и 3-его порядков: их определения и свойства
- •4. Обратная матрица: определение, необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы для квадратных матриц второго и третьего порядков
- •5. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений
- •6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •7. Определение свободного вектора
- •8. Сложение векторов и умножение их на число
- •9. Базис пространства векторов. Координаты вектора в базисе
- •10. Скалярное произведение и его свойства
- •11. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Длина вектора, угол между векторами.
- •12. Прямоугольная система координат в пространстве и на плоскости. Расстояние между двумя точками
- •13. Различные формы уравнения прямой на плоскости
- •14. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение точки пересечения, угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •15. Вывод канонического уравнения окружности
- •16. Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства
- •17. Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •18. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •19. Плоскость
- •20. Вывод канонического уравнения сферы. Шар. Эллипсоид
- •21. Определение линейного пространства строк
- •22. Линейная независимость и линейная зависимость векторов: определения, примеры
- •23. Базис линейного пространства, его свойства. Координаты вектора в базисе
- •24. Ранг матрицы и методы его нахождения
- •25. Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства
- •26. Ортонормированный базис
- •27. Определения отображения и линейного преобразования. Примеры
- •28. Матрица линейного преобразования
- •29. Собственные векторы матрицы: определение, метод нахождения
23. Базис линейного пространства, его свойства. Координаты вектора в базисе
Определение
Линейно независимая система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если - линейно зависимая система, т.е. если при добавлении любого вектора к линейно независимой системе она становится линейно зависимой.
Определение
Базис пространства - это любая максимальная линейно независимая система векторов из .
Теорема
В векторы
("бегущая единица") образуют базис.
Доказательство
Векторы линейно независимы (см. билет №22) и может быть представлен линейной комбинацией :
Значит система векторов линейно зависима - максимальная линейно независимая система векторов в - базис в .
Свойства базиса в
1) Любые два базиса состоят из векторов (без доказательства).
Определение
Размерность линейного пространства :
число векторов в базисе .
2) Базис определяет систему координат в
Теорема
Пусть - базис . Для любого вектора существует единственный набор чисел такой, что
Этот набор чисел называется координатами вектора в базисе .
Доказательство
1. Существование координат в базисе .
Так как - базис, то это максимальная линейно независимая система, а значит - линейно зависимая система. Значит ,не все равные 0, такие что
(*)
Если , то не все равны 0 и из (*) - линейно зависимая система – противоречие. Поэтому и из (*)
2. Единственность координат в базисе
Пусть
(1)
(2)
два разложения по базису и не все равны (т.е. . Тогда вычтем (1) – (2):
- линейно зависимая система – противоречие. [_]
24. Ранг матрицы и методы его нахождения
Пусть - прямоугольная матрица размерностью .
Определение
Ранг матрицы = числу линейно независимых строк в матрице = числу линейно независимых столбцов в матрице .
Методы нахождения ранга
1. Метод элементарных преобразований
Ранг = числу ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы .
ненулевых строк – ранг матрицы равен .
2. Метод миноров
Теорема о равенстве определителя нулю
Пусть - квадратная матрица . Тогда строки (столбцы) линейно зависимы.
Доказательство
Элементарные преобразования 1 и 2 (перестановка строк и прибавление к строке другой, умноженной на число) могут изменить только знак . Поэтому , где - матрица , приведенная к ступенчатому виду. Значит имеет треугольный вид.
Получили, что определитель матрицы, имеющей треугольный вид, равен произведению элементов на диагонали. Если имеет ступенчатый, но не треугольный вид (т.е. на диагонали встречаются нулевые элементы), то , а значит имеет нулевую строку. Таким образом, имеет ступенчатый, но не треугольный вид число линейно независимых строк в .
Определение
Пусть . Минор порядка ( ) – определитель, элементы которого стоят на пересечении строк и столбцов матрицы .
Теорема о ранге матрицы
Если в матрице минор порядка , не равный 0 ( ), а все миноры порядка равны 0, то . То есть = наибольшему порядку минора в , который не равен 0.
Доказательство на примере
В минор 3-го порядка , а все миноры порядка равны (т.к. имеют -ю строчку).
[_]