6. Динамічне програмування (тема 7)

   1. Розв’язати задачу динамічного програмування

6.1.1 Виробнича система складається з чотирьох філіалів. За умови здійснення реконструкції обладнання на кожному філіалі можна досягти певного приросту прибутку. Фірма виділяє на додаткові капітальні вкладення 200 тис. ум. од. (для спрощення розрахунків допустимо, що додаткові вкладення будуть здійснені в обсягах 50, 100, 150 та 200 тис. ум. од.).

Необхідно визначити оптимальний розподіл коштів між філіалами для максимізації загального прибутку від усіх чотирьох філіалів за умови, що відомі прирости прибутку для кожного з них (табл.):

Капіталовкладення, тис. ум. од.	Приріст прибутку в філіалах, тис. ум. од.
	1	2	3	4
50	25	30	36	28
100	60	70	64	56
150	100	90	95	110
200	140	122	130	142

Відповідь: тис. ум. од.)

6.1.2 Фірма планує нарощувати виробничі потужності на чотирьох підприємствах, маючи для цього 4 млн грн. Для кожного підприємства розроблено інвестиційні проекти, які відображають прогнозовані загальні витрати С (обсяги капіталовкладень) та доходи D, пов’язані з реалізацією кожного проекту. Ці показники наведені в таблиці

Проект	Підприємство
	1		2		3		4
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	3	1	4	2	4	1	2
3	2	5	2	6	3	9	2	8
4	3	7	3	8	4	12	3	5

Перший проект не передбачає розширення виробництва, а тому має нульові витрати і доходи. Необхідно розробити план інвестування виділених коштів у зазначені підприємства так, щоб одержати максимальний прибуток.

Відповідь: , k₂ = 1, k₃ = 0, k₄ = 2; х=15 млн грн..

6.1.3 Підприємство розробляє стратегію поповнення запасів деякої продукції для заданого періоду, який складається з N етапів (підперіодів). Для кожного з них відомий обсяг попиту, причому він не є однаковим для всіх етапів. Щоб задовольнити попит, підприємство може придбати необхідну кількість продукції, замовивши її у виробника, або виготовити її самостійно. Передбачається, що запаси поповнюються миттєво, запізнення поставки та дефіцит недопустимі. Залежно від ринкової кон’юнктури підприємству може бути вигідно створювати запаси продукції для задоволення попиту в майбутньому, що пов’язано, проте, з додатковими витратами на зберігання запасів.

Потрібно розробити програму управління запасами підприємства, тобто визначити обсяги замовлення й період його розміщення, щоб загальні витрати на постачання та зберігання продукції були мінімальними, а попит задовольнявся повністю й своєчасно.

Дані задачі подано в таблиці:

Період (квартал року)	Обсяг попиту на продукцію, тис. од.	Витрати на розміщення замовлення, тис. грн	Витрати на зберігання, тис. грн
1	4	7	2
2	5	8	3
3	3	6	1
4	2	9	0

Відомо, що на початку планового періоду запас становить 2 тис. од., а під час купівлі продукції діє система оптових знижок. Витрати на придбання 1 тис. од. продукції становлять 15 тис. грн, а коли розмір замовлення перевищує 3 тис. од., то витрати знижуються на 12 % і становлять 12 тис. грн.

6.1.4. Фірма планує нарощування виробничих потужностей на трьох підприємствах, для чого виділяються кошти обсягом 18 млн гривень. Для кожного підприємства розроблено інвестиційні проекти, які містять обсяги загальних витрат (інвестицій) та прибутків, що пов’язані з реалізацією кожного проекту.

Інвестиційний проект	Підприємство 1			Підприємство 2			Підприємство 3
	інвестиції, млн грн	прибуток, млн грн	інвестиції, млн грн		прибуток, млн грн	інвестиції, млн грн		прибуток, млн грн
1	0	0	0		0	0		0
2	2	6	6		12	7		9
3	4	8	7		14	8		10
4	5	11	9		18	10		14

6.1.5 На підприємстві встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу користування ним підприємством, а також залежність витрат на його утримання та ремонт при різному часі його використання наведені в таблиці.

Показник	Час, протягом якого використовується обладнання
	0	1	2	3	4	5
Річний випуск продукції у вартісному вираженні (тис. грн)	80	75	65	60	60	55
Щорічні витрати, пов’язані з утриманням та ремонтом обладнання (тис. грн)	20	25	30	35	45	55

Знаючи, що витрати, які пов’язані з купівлею та установкою нового обладнання, ідентичного з встановленим, складають 40 тис. грн., а обладнання, що замінюється, списується, скласти такий план заміни обладнання протягом 5 років, при якому загальний прибуток за даний період часу максимальний.

Відповідь: провести заміну обладнання на 3 році використання.

6.1.6 На підприємстві встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу користування ним підприємством, а також залежність витрат на його утримання та ремонт при різному часі його використання наведені в таблиці.

Показник	Час, протягом якого використовується обладнання
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Річний випуск продукції у вартісному вираженні (тис. грн)	25	24	24	23	23	23	22	22	21	20
Щорічні витрати, пов’язані з утриманням та ремонтом обладнання (тис. грн)	15	15	16	16	17	17	18	18	19	19

Знаючи, що витрати, які пов’язані з купівлею та установкою нового обладнання, ідентичного з встановленим, складають 10 тис. грн., а обладнання, що замінюється, списується, скласти такий план заміни обладнання протягом 9 років, при якому загальний прибуток за даний період часу максимальний.

Відповідь: провести заміну обладнання на початку 3 та 6 років використання.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

Таблиця 1 – Перелік рекомендованої літератури

№ пор.	Бібліографічний опис	Кількість примірників	УДК бібліотеки
Основна література
1	Вітлінський, В. В. Математичне програмування [Текст] : навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. / В. В. Вітлінський, С. І. Наконечний, Т. О. Терещенко; [2-е вид., без змін]. – К. : КНЕУ, 2001. – 248 c. ISBN 966–574–263–9		519.85 В54
2	Клебанова, Т. С. Економіко-математичне моделювання [Текст] : Навчальний посібник / Т. С. Клебанова, О. В. Раєвнева, С. В. Прокопович, С. О. Степуріна, Р. М. Яценко, І. М. Чуйко. – Х. : ВД «ІНЖЕК», 2010. – 352 с. ISBN 978-966-392-254-6	5	330.4 (075.8) Е40
3	Наконечний, С. І. Математичне програмування [Текст] : Навч. посіб. / С. І. Наконечний, С. С. Савіна – К. : КНЕУ, 2003. – 452 с. ISBN 966–574–538–7		–
4	Сборник задач по курсу "Экономико-математическое моделирование" [Text] : учебное пособие / В. П. Невежин, С. И. Кружилов ; Финансовая академия при правительстве РФ. - М. : Городец, 2005. - 320 с. - ISBN 5-9584-0080-0		330.45 (076.1)
Додаткова література
5	Алесинская, Т. В. Учебно-методическое пособие по курсу «Экономико-математические методы и модели. Линейное программирование» [Текст] / Т. В. Алесинская, В. Д. Сербин, А. В. Катаев. – Таганрог : Изд-во ТРТУ, 2001. – 79 с.
6	Бугір, М. К. Посібник по розв`язуванню задач з математичного програмування [Текст] : Навч. посiбник / М. К. Бугір, Ф. П. Якімов, 1997. – 208 c.
7	Конюховский, П. В. Математические методы исследования операций в экономике [Текст] : Учебное пособие. / П. В. Конюховский. – СПб. : Питер, 2000. – 208 c. ISBN 5-8046-0190-3
8	Кузнецов, А. В. Высшая математика: Математическое программирование [Текст] : учебник / А. В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – Мн. : Выш. шк., 1994. – 284 с. ISBN 5-339-00961-0
9	Курицкий, Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Ехсеl 7.0. [Текст] / Б. Я. Курицкий. – СПб. : ВНV, 1997. – 384 с.