  Волновая функция;  постоянная Планка; m  масса частицы;  оператор Лапласа; u ( X, y, z, t )  потенциальная энергия частицы в силовом поле;  мнимая единица.

Свойства волновой функции

1. Описание микрообъекта имеет статистический (вероятностный) характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в данный момент времени в данном месте.

. (2)

2. Квадрат амплитудного значения волновой функции определится как произведение Ψ∙Ψ^*, где Ψ^*  комплексно сопряженное значение функции . Поэтому вероятность нахождения частицы в объеме dV

. (3)

3. Условие нормировки (объективного существования частицы):

. . (4)

4. Ограничительные условия:

• Конечность (вероятность не может быть больше 1);

• Однозначность (вероятность не может быть неоднозначной);

• Непрерывность (вероятность не меняется скачком);

• Удовлетворение принципу суперпозиции

, С_n  произвольные комплексные числа.

Итак, физический смысл функции   амплитуда волн де Бройля, а квадратом ее модуля задается интенсивность волн де Бройля.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения физических величин, например, среднее расстояние электрона от ядра

.

Согласно квантовому представлению для электрона существует лишь электронная плотность вероятности в виде облака, симметрично расположенного около ядра. Электрон не находится на каком - то точно определенном расстоянии от ядра, не существует электронных «орбит», а вместо этого имеется размытое электронное распределение. Можно указать лишь вероятность того, что электрон находится на данном расстоянии от ядра.

5. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

,

.

, (5)

Е – полная энергия частицы.

Уравнение в частных производных (5) имеет множество решений, из которых выбирают регулярные решения (имеющие физический смысл). Регулярные решения при определенных значениях энергии Е называются собственными функциями. Собственные значения энергии Е образуют спектры – непрерывный, дискретный.