- •Лекция 11 Элементы квантовой механики Вопросы
- •1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств веществ
- •Экспериментальные подтверждения
- •2. Некоторые свойства волн де Бройля
- •3. Соотношения неопределенностей
- •4. Волновая функция и ее статистический смысл
- • Волновая функция; постоянная Планка; m масса частицы; оператор Лапласа; u ( X, y, z, t ) потенциальная энергия частицы в силовом поле; мнимая единица.
- •5. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний
3. Соотношения неопределенностей
Из-за двойственной природы частиц необходимо внести ограничения в применение к объектам микромира законов и понятий классической механики.
В классической механике частица имеет траекторию, в любой момент времени зафиксирована ее координата и импульс.
Микрочастица из-за волновых свойств существенно отличается от классической частицы. Нельзя говорить о траектории и одновременно точных координатах и импульсе. Понятие «длина волны» лишено физического смысла, т.к. импульс выражается через длину волны (Р = h/).
В связи с этим немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал в 1927 г общий принцип, получивший название принципа неопределенности: микрочастица не может иметь одновременно и определенную координату (x) и определенную соответствующую проекцию импульса (Рx), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условию
. (3)
Смысл (3) состоит в том, что, чем больше масса частицы, тем меньше неопределенность ее координаты и скорости, тем с большей точностью может быть найдена ее траектория.
Пример 1. Пылинка массой m = 10-12 кг размером l = 10-6 м, координата определена с точностью 0,01 ее размера (x = 10-8м). Неопределенность скорости
мала и не будет сказываться на скорости движения пылинки. Для описания ее движения можно пользоваться законами классической механики.
Пример 2. Пучок электронов в трубке осциллографа движется со скоростью v = 108 м/c, определяемой с точностью 0,01% (vx = 104 м/c). Неопределенность координаты электрона
значительно меньше разрешающей способности глаза (0,1 мм = 110-4 м), поэтому движение пучка электронов можно описывать законами классической механики.
Пример 3. Электрон в атоме водорода. Неопределенность координат электрона равна размеру атома (x 10-10 м)
,
неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости (v 2,3 106 м/c). Т.о., нельзя пользоваться законами классической механики для описания движения электрона.
Соотношение неопределенностей для энергии и времени: система, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии Е=h/t возрастает с уменьшением среднего времени жизни:
(4)
Соотношения неопределенностей предмет дискуссий. Идеалистическое толкование соотношение неопределенностей устанавливает границу познаваемости мира. На самом деле это соотношение не ставит предела познанию микромира, а указывает, насколько применимы к нему понятия классической механики.
Идея де Бройля послужила исходным пунктом квантовой механики, созданной в 1926 - 1927 г. трудами В. Гейзенберга, М. Борна, Э. Шредингера, и П.Дирака.
4. Волновая функция и ее статистический смысл
Принцип дополнительности Н. Бора: всем микрообъектам присущи и волновые, и корпускулярные свойства, однако, они не являются ни волной, ни частицей в классическом понимании. Разные свойства микрообъектов не проявляются одновременно, они дополняют друг друга, только их совокупность характеризует микрообъект полностью. Микрообъекты распространяются как волны, а обмениваются энергией как частицы.
Наличие волновых свойств у микрочастиц сделало невозможным трактовку их как механических частиц. Уравнения движения Ньютона, описывающие движение макрочастиц, непригодны для описания движения микрочастиц. Теория, описывающая движение микрочастиц, должна учитывать все их свойства, корпускулярные и волновые.
Де Бройль, предположивший наличие волновых свойств у частиц, такой теории не создал. Он не нашел уравнения, которое явилось бы для микрочастиц тем, чем является уравнение Ньютона для макроскопических тел. Такое уравнение было найдено Э. Шрёдингером в 1926 г. Так же как и уравнение Ньютона, уравнение Шрёдингера не выводится. Оно постулируется, и его правильность определяется тем, в какой мере его применение подтверждается результатами опыта.
Уравнение Шредингера, определяющее поведение микрочастицы, коренным образом отличается от уравнения Ньютона. Уравнение Ньютона определяет координаты и скорости микрочастиц как функцию времени. Уравнение Шредингера определяет не непосредственно координаты и скорости частиц, а их волновую функцию как функцию координат и времени. Уравнение сходно с тем, которое описывает распространение механических волн:
, (1)