Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов(в координатах).
Коллинеарность в координатной форме: векторы пропорциональны.
Длина и направляющие косинусы вектора. Координаты вектора через координаты точек его начала и конца.
Длина вектора- это его модуль, модуль равен корню из суммы квадратов координат.
Направление вектора А удобно задавать с помощью углов альфа, бета, гамма, которые образуют вектор с осями OX,OY,OZ соответственно. Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора А. По свойству проекций имеем:
Сos(вставить название угла)=соответствующая координата(x,y,z) / модуль самого вектора.
Пусть A и B - две точки координатной плоскости. Их координаты соответственно (x1 ; y1 ) и (x2 ; y2 ). Тогда координаты вектора таковы: (x2 - x1 ; y2 - y1 ). Они получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала .
Понятно, что в какой бы точке плоскости мы ни поместили начало вектора, его координаты будут одними и теми же.
Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.
Скалярное произведение – это число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.
Свойства:
Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол j с перемещением АВ= S (см.рис. 15).
Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна
А=F•S•cosj т. е. А=(F•S).
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.
См. выше.
Определение векторного произведения. Свойства векторного произведения. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме.
Векторное произведение – это вектор, обозначается так [Вставь вектор]x[Вставь вектор] такой, что равен произведению модулей соответствующих векторов(А,В) на синус угла q, где q наименьший из углов между векторами.
Свойства: вектор [Вставь вектор]x[Вставь вектор] перпендикулярен к А и В.
Вектор [Вставь вектор]x[Вставь вектор] направлен так, что кратчайший поворот от А к В виден с его конца как поворот против часовой стрелки, то есть векторы А и В + А x В образуют правую тройку.
Модуль векторного произведения равен площади параллограмма, построенного на этих векторах.
DxA=-(AxD)
Критерий коллинеарности векторов: векторое произведение равно нулю.
a \ b i j k
i 0 k - j
j - k 0 i
k j - i 0
Пусть
, .
Тогда
Доказательство.
По условию
,
(Формула
10)
По
таблице умножения
.
Аналогично находим
,
Подставив
полученные результаты в формулу (10.5),
получим
