Санкт-Петербургский государственный университет.
Высшая школа менеджмента.
Предмет: Математика для менеджеров. 2011\2012 учебный год, 1 курс, 1 семестр.
Специализация: менеджмент.
Вопросы по теории к экзаменационным билетам.
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.
Определение вектора. Операции с векторами. Геометрическая интерпретация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.
Понятие системы координат. Декартова система координат. Примеры. Размерность и базис арифметического пространства. Метрика.
Координатные представления операций скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Вывод условий коллинеарности и компланарности векторов.
Матрицы. Определение. Числовые характеристики. Алгебраические операции. Транспонирование.
Квадратные матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие определителя. Вычисление определителя квадратной матрицы любой размерности.
Операция обращения квадратных матриц. Необходимые и достаточные условия ее выполнения. Алгоритм вычисления элементов обратной матрицы.
Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Понятие решения.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Необходимые и достаточные условия его применения.
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Условия применимости.
Ранг матрицы произвольной размерности. Элементарные операции, не приводящие к изменению ранга.
Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.(Формулировка).
Теорема о решениях совместной системы линейных уравнений. (Формулировка).
Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений. (Алгоритм. Прямой и обратный ходы).
Однородные системы линейных уравнений. Построение фундаментальной системы решений.
Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Алгоритм вычисления.
Пределы числовой последовательности и функции.
Понятие функции. Определение. Область определения, область допустимых значений функции. Способы задания. Суперпозиция функций. Понятие обратной функции. Примеры.
Свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, выпуклость, вогнутость, экстремумы). Элементарные функции.
Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).
Арифметические операции с последовательностями, имеющими пределы (доказательство).
Понятия бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой (доказательство).
Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела.
Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).
Понятие предела функции в точке. Определения на языке последовательностей и на языке έ – δ.
Односторонние пределы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке (доказательство).
Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими пределы (доказательства).
Связь понятий предела функции в точке и бесконечно малой функции (доказательство).
Пределы монотонных ограниченных функций.
Определение непрерывности функции в точке и в области. Классификация разрывов функций.
Теорема об обращении непрерывной функции в нуль на замкнутом интервале (Больцано-Коши) (доказательство).
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на замкнутом интервале (Больцано-Коши).
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования обратной функции.
Теоремы об области значений и о наибольшем и наименьшем значениях функции, непрерывной на замкнутом интервале (Вейерштрасс).
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной.
Односторонние производные функций. Теорема о существовании производной в точке. (доказательство).
Правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций (доказательства).
Вывод формул вычисления производной сложной функции и обратной функции (доказательства).
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала первого порядка (доказательство)
Теорема о связи дифференцируемости функции и существовании производной (доказательство).
Теорема Ферма (об обращении производной в нуль). Графическая интерпретация.
Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). Геометрическая интерпретация.
Вывод формулы Маклорена для полинома.
Формула Тейлора для гладкой функции. Представления остаточного члена.
Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции (доказательство с использованием формулы Лагранжа или двучленной формулы Тейлора).
Необходимые и достаточные условия локального экстремума непрерывной функции (доказательства для максимума и минимума с использованием трехчленной формулы Тейлора).
Теоремы о выпуклости (вогнутости) графика непрерывной функции. Точки перегиба. (доказательство с использованием трехчленной формулы Тейлора).
Функции многих переменных.
47. Понятие функции многих независимых переменных. Область ее определения.
Связные и несвязные области. Метрика n-мерного пространства. Определения.
48. Окрестность точки в n-мерном пространстве. Понятие предела функции в
точке и области. Определения.
49. Частные и повторные пределы. Теорема о повторных пределах для функции двух
независимых переменных. Определения и формулировка.
50. Определение непрерывности функции многих переменных в точке и области.
Формулировки теорем Вейерштрасса для замкнутой односвязной области.
51. Частные производные функций многих переменных. Формула для вычисления
полного дифференциала n-го порядка.
52. Необходимые и достаточные условия максимума и минимума для функции
двух независимых переменных.
53. Понятие условного экстремума функций многих переменных. Метод Лагранжа
отыскания стационарных точек.
Неопределенный интеграл.
54. Определение первообразной функции. Теорема о числе первообразных.
Доказательство.
55. Неопределенный интеграл. Определение и свойства.
56. Вычисление площади области под графиком функции. Вывод формулы
Ньютона- Лейбница.
57. Вывод основных правил интегрирования.
58. Вывод формул замены переменной и интегрирования по частям в
неопределенном интеграле.
Числовые и функциональные ряды.
59. Понятие числового ряда. Частичные суммы. Определение сходимости ряда.
60. Арифметические свойства сходящихся рядов. Формулировка и доказательство
Необходимого условия сходимости числового ряда.
61. Теоремы сравнения для положительных рядов. Доказательство одной из них.
62. Признаки Д'Аламбера и Коши сходимости положительных рядов. Доказать
теорему Коши.
63. Интегральный признак Коши. Формулировка. Вывод условий сходимости
гармонических рядов.
64. Определение абсолютной сходимости любого числового ряда. Теорема о связи
абсолютной сходимости и сходимости в обычном смысле.Доказательство.
65. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о сходимости таких рядов.
Доказательство.
66.Степенные ряды. Вывод формулы для радиуса сходимости степенного ряда
. Область сходимости и поведение ряда на ее границах.