Теоретическая механика

II семестр

1. Аксимомы динамики. Инерциальная система отсчета.

- Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, по отношению к которым материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся вод действием уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

- Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силы и совпадает с ней по направлению.

- Силы взаимодействия двух материальных точек направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны и равны по модулю

- Ускорение, полученное точкой под действием системы сил, равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил

2. Дифференциальные уравнения движения точки в векторной форме и в проекциях на декартовы и естественные оси координат.

Из второй и четвёртой аксиом следует уравнение движения в инерциальной системы отсчёта:

Где F – равнодействующая всех сил, приложенных к точке.

Векторное дифф. уравнение движения точки:

Диф. уравнения в проекциях на декартовы оси:

(1)

В проекциях на естественные оси:

3. Две основные задачи динамики точки. Интегралы уравнений движения.

Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону движения точки массой m определить силу, под действием которой происходит это движение.

Вторая задача состоит в определении движения точки по заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы должны быть выражены как функции переменных, используемых для задания движения.

Решение этой задачи сводится к интегрированию диф. уравнений второго порядка, в процессе которого в решениях появляются произвольные постоянные.

В задаче о движении точки в трехмерном пространстве общие решения будут содержать шесть произвольных постоянных:

Если начальные условия поставлены для начальных значений функций и их первых производных, т.е. в виде

то задача Коши имеет единственное решение. Т.о. приложенные к точке силы определяют только её ускорение, движение же точки помимо сил зависит от начальных условий – положения точки в рассматриваемой инерциальной системы отсчета и её скорости.

Первым интегралом системы дифференциальных уравнений (1) называется функция

Выражение

называется производной по времени функции , вычисленной в силу дифференциальных уравнений (1).

Для того чтобы полностью найти закон движения материальной точки, достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов.

Пусть

- шесть независимых первых интегралов системы (1).

Т.к. по условию - функционально независимы получаем общее решение системы:

4. Диф. Уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета.

Неинерциальной называется система отсчета, которая с ускорением движется относительно другой, инерциальной системой отсчета.

Представим ускорение точки в виде трёх составляющих

Разрешая полученное выражение относительно

находим

Где - переносная сила инерции и - кориолисова сила инерции.

Формулы для ускорений в общем случае перносного движения:

Т.е. векторное уравнение движения в неинерциальной системе отсчета:

(2)

Если учесть кинематические соотношения

то (2) можно представить в форме дифференциального уравнения относительно движения точки

,

если точка является несвободной, то к активным силам добавятся реакции связи.