Розрахунок концентрації носіїв заряду. Власна провідність напівпровідників

Як уже відмічалось, при переході від ізольованих атомів до твердого тіла дискретні енергетичні рівні в результаті взаємодії атомів розщеплюються в зони. Спеціалістів у галузі напівпровідникової електроніки цікавлять тільки валентна зона та зона провідності, які утворюються валентними електронами. Валентна зона утворюється з енергетичних рівнів валентних електронів, зона провідності - із їх збуджених станів. Рис. 2 ілюструє утворення зон для елементарних напівпровідників четвертої групи періодичної системи елементів Д.І. Менделєєва. Оскільки елементи четвертої групи мають чотири валентних електрони, то при утворенні хімічних зв'язків у кристалі на валентній оболонці виявляється 8 електронів, і валентна зона виявляється повністю заповненою електронами, а зона провідності повністю вільною. Зі збільшенням атомного номера відстань між зоною провідності та валентною зоною (Eg) зменшується и для свинцю вони перекриваються, тому він є металом.

Рис. 2. Схема утворення енергетичних зон в кристалах елементів четвертої групи періодичної системи Д.І. Менделеєва.

Оскільки кристал є квантовою системою, усі процеси в ньому мають ймовірнісний характер і для розрахунку ймовірності того, що у взірці існує деяка концентрація електронів із заданою енергією, необхідно взяти добуток концентрацій рівнів з заданою енергією на ймовірність їх заповнення у відповідності з попередньої формули. Ймовірність заповнення енергетичних станів залежить від того, де знаходиться в системі рівень Фермі. Якщо рівень Фермі знаходиться поблизу енергетичного рівня, для якого виконується розрахунок, то використовують статистику Фермі - Дірака. Якщо ж рівень "Е" знаходиться на значній віддалі від рівня Фермі, то можна скористатись статистикою Больцмана. В цій формулі входить розподіл за енергіями густини станів, на яких можуть знаходитися електрони. Цей розподіл залежить від властивостей матеріалу та визначається як розрахунковим, так і експериментальним шляхом.

Функція Фермі - Дірака:

Якщо E-F>>kT, то користуються функцією Больцмана:

Для розрахунку кількості електронів, які спроможні створювати електричний струм, тобто тих, які знаходяться в зоні провідності, необхідно розрахувати, кількість електронів в зоні провідності, виконавши інтегрування по усій зоні. Однак, оскільки функція f(E) дуже швидко спадає, то інтегрування проводять від Ec до нескінченності, подаючи розподіл станів біля дна зони (аналогічно біля стелі) у виді: N(E) = 4π(2m_n/h²)^3/2(E-Ec)^1/2, де m_n - ефективна маса електрона.

Для випадку, коли рівень Фермі лежить в забороненій зоні (напівпровідник не вироджений), розрахунки дають наступний вираз для концентрації вільних електронів (електронів у зоні провідності):

де N_c(E) - ефективна густина станів у зоні провідності.

Для того, щоб розрахувати концентрацію вільних дірок (кількість дірок у валентній зоні), необхідно врахувати, що ймовірність знаходження дірки на енергетичному рівне дорівнює 1 мінус ймовірність знаходження там електрона: f_p(E) = 1 - f(e) та N_p(E) = 4π(2m_p/h²)^3/2(Ev-E)^1/2

де N_v(E) - ефективна густина станів у валентній зоні.

Положення рівня Фермі в напівпровідниках зазвичай визначають з умови електро ­­- нейтральності, згідно з якою, розрахований через рівень Фермі сумарний додатній заряд повинен бути рівним сумарному від'ємному зарядові. Для власного напівпровідника цей розрахунок достатньо простий. Позначимо власну концентрацію носіїв при деякій температурі n_i. Тоді:

Дійсно, згідно з розрахунком положення рівня Фермі при невисоких температурах - поблизу середини забороненої зони.

Розрахуємо добуток концентрації електронів і дірок:

Звідси випливає, що добуток концентрацій електронів і дірок не залежить від положення рівня Фермі (залежить тільки від Eg), тобто при заданій температурі це - постійна величина. Це означає, що якщо в рівноважних умовах концентрація електронів збільшується то концентрація дірок зменшується (і навпаки). Дана формула підтверджує те, що дійсно концентрація носіїв у власних напівпровідниках змінюється за експоненціальним законом.

Розрахувавши концентрацію носіїв зарядів у власному напівпровіднику, тепер можна, розрахувати його провідність, що зумовлена електронами та дірками:

З цієї формули випливає, що власна провідність експоненційно залежить від температури і, визначивши показник цієї експоненти, можна визначити ширину забороненої зони матеріалу. Слабі степені залежності від температури, рухливості та ефективної густини станів не вносять значної похибки.

Рис. 3.Залежність власної провідності напівпровідників від температури

Рис. 4.Енергетичні діаграми напівпровідника, діелектрика та металу.

В доповнення до ведених позначень на рис. 4 через Фm позначено роботу виходу електрона з металу - це енергія, яку необхідно надати електронові, щоб він вийшов у вакуум з нульовою кінетичною енергією з рівня Фермі в металі (відповідний рівень енергії позначений E=0). За аналогією були прийняті поняття для роботи виходу з напівпровідника (Фs) та діелектрика (Фd), однак, оскільки в цих матеріалах немає на рівні Фермі електронів і її можна тільки розрахувати, то щоб підкреслити це, таку роботу виходу називають термодинамічною. Виміряти можна енергію, яку потрібно надати електронові, який знаходиться в зоні провідності, щоб він вийшов з кристалу. Цю енергію називають спорідненістю до електрона, на рис.4 вона позначена χ_s и χ_i.

Як видно з формули, власна концентрація напівпровідників (а, отже, і провідність) дуже сильно залежить від температури. Концентрація, розрахована у відповідності з формулою 1 для діелектриків, дає значення, що близьке до 0 (в см^-3).

На рис. 6 показано залежності власної концентрації від температури для трьох напівпровідникових матеріалів: германію (Ge), кремнію (Si) та арсеніду галію (GaAs).

Рис. 5. Залежність власної концентрації електронів від зворотної температури в Ge, Si, GaAs.

Вільні носії заряду, які створюють електропровідність, рухаються хаотично, зіштовхуючись з атомами решітки та один з одним. Оскільки їх поведінка нагадує поведінку частинок газу, для їх описання використовують основні поняття молекулярно-кінетичної теорії газів, такі як: статистичну ймовірність розподілу електронів та дірок за енергіями, поняття довжини вільного пробігу, дифузії частинок та інші. Такий підхід є наближеним, таким, що значно спрощує реальні процеси в твердому тілі, тому приходиться вводити цілий ряд поправок, які, з однієї сторони, ускладнюють модель, з іншої роблять її такою, що більше відповідає реальним процесам.

Перш за все усі зміни характеристик вільних носіїв заряду відбуваються на дуже малих віддалях, які зрівнювані з віддалями між атомами і складають декілька ангстрем, тобто на віддалях, які набагато менші за довжину хвилі світла. Отже, ці процеси повинні підкорятися основним закономірностям, що описуються квантовою фізикою. Згідно з квантовою фізикою енергія будь-яких частинок мікросвіту є квантованою.

Висновки

Концентрація носіїв струму в реальних напівпровідниках пряма залежить від температури. При збільшенні температури електропровідність напівпровідників підвищується. Тобто при підвищенні температури число носіїв струму підвищується у декілька порядків в залежності від підвищення температури. І це одна з відмінностей між напівпровідниками і металами. Бо в металах електропровідність збільшується при зменшені температури, і при температурі нижче -200^оС наступає надпровідність.

Список літератури

1. Бушманов Б. Н. Хромов Ю. А. – фізика твердого тела. Учебн. пособие для втузов. М., «Высш школа», 1991. 224 с. ил.

2. Вильсон А. – Квантовая теорія металов. Перев. с англ.. В. Левина и Е. Фрейнберга. Гос. узд. техн. – теор. лит., М. – Л., 1999, 227 стр.

3. Волькенштейн Ф. Ф. Электропроводимость полупроводников. Гостехиздат, М. – Л., 2001, 352 стр.

4. Вонсовский С. В. – Вопросы современной квантовой теории электронных проводников. – УФН, 2002, 48, 3, 289 – 388.

5. Гохберг Б. М. – Электропроводимость диэлектриков. Гостехиздат, Л. – М., 1993, 74 (2) стр.

6. Давыдов Б. И. – Советские иследования по электронным проводникам. – УФН, 1997, 33, 2, 157 – 164.

7. Иоффе А. Ф. – Электронные полупроводники. ГТТИ, М. – Л., 1933, 92 стр.

8. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. – М.: Наука, 1977.

9. Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая школа, 1969.

10. Чистяков Ю.Д., Райнова Ю.П. Физико-химические основы технологии микроэлектроники. – М.: Металлургия, 1979.

11. Щука А.А. Наноэлектроника. – М.: Физматлит, 2007.