Невироджені напівпровідники

У випадку невиродженого напівпровідника ми маємо виконання умови:

і тому інтеграл Фермі спрощується:

Інтеграл, що сюди входить, добре відомий:

.

Тому

,

а значить і концентрація електронів тут буде:

.

Аналогічним чином спрощується вираз і для концентрації дірок в невиродженому напівпровіднику. Тут виконується співвідношення:

,

і тому ми тут будемо мати концентрацію дірок:

.

Отримані вирази для концентрацій електронів та дірок дозволяють виявити зміст назв ефективна густина станів в зонах для величин N_c та N_v. Експоненційний множник в цих виразах є по суті розподіл Максвелла - Больцмана, що дає ймовірність заповнення квантового стану з енергією W_c. Тому формула для концентрації електронів означає, що для невиродженого напівпровідника концентрація рухливих електронів виходить така ж, якби замість неперервного розподілу станів в зоні, в кожній одиниці об'єму було N_c станів з однаковою енергією W_c.

Оцінку густини станів можна зробити шляхом покладання ефективної маси електронів m_n значенню маси ізольованого електрона m₀. Тоді при температурі T = 300K ми отримаємо . Для іншої температури ми маємо наступну оцінку:

де m_n(p) − ефективна маса електронів або дірок, відповідно.

Добуток концентрацій електронів та дірок для невиродженого напівпровідника не залежить від положення рівня Фермі:

де n_i- концентрація електронів при n = p, тобто у власному напівпровіднику. Це співвідношення використовується для визначення термічної ширини забороненої зони W_g по експериментальним результатам залежності концентрації n_i від температури.

Вироджені напівпровідники

Інший крайній випадок - вироджені напівпровідники. При сильному виродженні маємо виконання умови:

В цьому випадку рівень Фермі лежить в зоні провідності, а концентрація електронів в зоні В цьому випадку в інтегралі Фермі маємо В якості верхньої межі інтегрування можна взяти x_m = (W_F − W_c) / kT. Це справедливо при T = 0, проте навіть при більших температурах цією оцінкою також можна користуватися, оскільки функція Фермі - Дірака швидко зменшується при E > W_F. Тоді інтеграл Фермі обчислюється безпосередньо:

При температурі абсолютного нуля всі стани в зоні, енергія яких E > W_F, є вільні, а всі стани з енергією E < W_F - зайняті електронами. Тому хімічний потенціал електронів ζ = W_F − W_c є максимальна енергія електронів при T = 0. Цю величину, яка відіграє важливу роль в теорії металів, часто називають енергією Фермі. У випадку сильного виродження вона буде:

Для напівпровідника p − типу, аналогічним чином в інтегралі Фермі Φ_{1 / 2}(η ^* ) можна покласти а якості верхньої межі можна вибрати y_m = (W_v − W_F) / kT. Тоді енергія Фермі буде:

Рівень Фермі у власному напівпровіднику

У випадку власного напівпровідника , тому умова нейтральності приймає вигляд n = p. Якщо ширина забороненої зони напівпровідника досить велика, так що вона має дуже багато kT, і якщо ефективні маси електронів m_n та дірок m_p одного порядку величини, тоді рівень Фермі буде в достатній мірі віддалений від країв зон, і напівпровідник буде невиродженим. В цьому випадку ми маємо наступне співвідношення для концентрацій електронів n та дірок p:

,

звідки знаходимо величину рівня Фермі:

,

де W_i = 0,5(W_v + W_c)- енергія середини забороненої зони.

При температурі абсолютного нуля T = 0 рівень Фермі розташований точно посередині забороненої зони. При підвищенні температури він віддаляється від зони більш важких носіїв заряду і наближається до зони більш легких.

Із виразу для рівня Фермі видно, що якщо m_n та m_p сильно відрізняються по величині, то при підвищенні температури рівень Фермі може наблизитись до зони легких носіїв на віддаль порядку kT, або навіть опинитися всередині зони. Тому такі напівпровідники при нагрівання можуть стати виродженими.