Группировка предприятий по чистой прибыли (тыс.Рублей)

Группы предприятий	Предприятия №	Частота	Середина интервала		Нако­пленная частота
110-134	9, 13, 16, 17, 19, 20, 23, 27, 28, 29	10	122	1220	10
134-158	2, 3, 5, 6, 12, 26, 30	7	146	1022	17
158-182	1, 4, 10, 11, 14, 15, 18	7	170	1190	24
182-206	7, 8, 21, 24	4	194	776	28
206-230	22, 25	2	218	436	30
Итого		30		4644

Рассчитаем показатели центра распределения:, , Mo, Me.

Среднюю величину в интервальном ряду распределения определим по формуле средней арифметической взвешенной

,

где  – средняя величина;  – серединное значение признака в интервале;  – число единиц совокупности.

 =  тыс. руб.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

 = .

Медианным является интервал 134–158 тыс.руб., так как в этом интервале накопленная частота больше медианного номера.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для данного ряда распределения мода находится в интервале 110–134 млн. руб.

Для определения величин моды и медианы используют следующие формулы:

Mo = _Мо + h_Мо ,

где _Мо – начало модального интервала; _Мо – величина модального интервала (в случае равных интервалов _Мо = h); _Мо – частота, соответствующая модальному интервалу; _Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; _Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Ме = _Ме + h_Ме ,

где _Ме – нижняя граница медианного интервала; _Ме – величина медианного интервала (для равных интервалов _Ме = h); _Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; _Ме – частота медианного интервала.

Mo = 110 + 24 = 110 + 18,48= 128,48 тыс.руб.

Ме = 134 + 24 = 134+17,14=151,14 тыс.руб

Выяснение общего характера распределения включает также оценку формы распределения, определение показателей асимметрии (As) и эксцесса ( ).

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней арифметической, моды и медианы. В связи с этим простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения. Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии. При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение Mo < Ме < . Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии. Между показателями центра распределения в этом случае имеется такое соотношение Mo > Ме > . В нашем примере 128,48 < 151,14 < 154,8, что указывает на правостороннюю асимметрию.

Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии

As = М₃ / s³,

где  =  – центральный момент l-го порядка;

s =  =  – среднее квадратическое отклонение.

Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии

s_As = .

Если выполняется соотношение |As| / s_As < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As| / s_As > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Расчет центральных моментов необходимо произвести в таблице.

Таблица 2.3

Группы предприятий
110 – 134	10	122	32,8	10758,4	352875,52	11574317
134 – 158	7	146	8,8	542,08	4770,304	41978,68
158 – 182	7	170	-15,2	1617,28	-24582,66	373656,43
182 – 206	4	194	-39,2	6146,56	-240945,15	9445049,8
206 – 230	2	218	-63,2	7988,48	-504871,93	31907905
	30			27052,8	-412753,92	53342905
				901,76	-13758,46	1778096,8

s_As =  =  =  = 0,41;

s =  = 30,03; s³ = =27079,85;

As =  = - 0,51

В анализируемом ряду распределения наблюдается несущественная правосторонняя асимметрия (- 0,51 / 0,41 = - 1,24< 3).

Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т. е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона

As_П = = = 0,876 > 0,

что подтверждает вывод о правосторонней асимметрии, сделанный ранее.

Другой характеристикой формы распределения является эксцесс (излишество). Под эксцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс определяется только для симметричных и умеренно асимметричных распределений. Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя

 = М₄ / s⁴ – 3.

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный ( ), для более плосковершинных (сплюснутых) – отрицательный ( ), т.к. для нормального распределения М₄ / s⁴ = 3.

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику

|Ex| / s_Ex ,

где s_Ex =  – средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

Если отношение |Ex| / s_Ex > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

Несмотря на несимметричность анализируемого распределения оценим (для примера) существенность показателя эксцесса.

Ex =  – 3 = 2,186 – 3 = 0,814 > 0;

s_Ex = =  =  = 3,43.

Распределение незначительно круче по сравнению с нормальным распределением (|Ex| / s_Ex = 0,814 / 3,43 = 0,237 < 3).

Задание 3.По данным своего варианта (см. табл. 3) исчислите:

1. Базисные, цепные и среднегодовые показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста величины прожиточного минимума.

2. Среднегодовую величину прожиточного минимума.

3. Изобразите динамику величины прожиточного минимума на графике.

Динамический ряд представляет собой ряд последовательных уровней, сопоставляя которые между собой можно получить характеристику скорости и интенсивности развития явления. В результате сравнения уровней получается система абсолютных и относительных показателей динамики, к числу которых относятся абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста и пункты роста. Показатели динамики могут представляться также в виде коэффициентов (в долях единицы).

Абсолютный прирост ( ) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда. При сравнении с постоянной базой он равен:

,

где  – абсолютный прирост базисный;  – уровень сравниваемого периода;  – уровень базисного периода.

При сравнении с переменной базой

,

где  – абсолютный прирост цепной;  – уровень непосредственно предшествующего периода.

Темп роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней.

При сравнении с постоянной базой  = .

При сравнении с переменной базой  = .

Темп прироста показывает на сколько процентов уровень данного периода больше (меньше) базисного или предшествующего уровня.

 =  или  = ,

также определяется как разность между темпом роста и 100 %

 =  – 100 %.

Абсолютные значения одного процента прироста равны:

 =  /  = /100,  =  /  =   /100.

Пункты роста, прироста определяются соотношениями

 =  –  ,  =  –  .

Определим средние показатели динамики.

Средний уровень интервального ряда динамики задается в простой и взвешенной форме (для ряда с неравными интервалами)

, ,

где  – величины интервалов.

Средний уровень моментного ряда определяется средней хронологической простой и взвешенной (с неравноотстоящими уровнями ряда)

 = , ,

где  = ( )/2;  – интервал времени между смежными уровнями ряда.

Средний абсолютный прирост:

.

Среднегодовой темп роста определяется по формуле среднегеометрической:

.

Средний темп прироста вычисляется через средний темп роста

 =  – 100 %.

Квартал год	Величина прожиточного минимума для трудоспособного населения в целом по РФ, руб	Абсолютный прирост			Темп роста,% (Тр)			Темп прироста(Тп)
		Цепной	Базисн.	Цепной		Базисн.	Цепн		Баз.
2000г. за I кв.	1232,28	-	0,0	-		100	-		0,0
2000г. за II кв.	1290	57,72	57,72	104,68		104,68	4,68		4,68
2000г. за III кв.	1350	60	117,72	104,65		109,55	4,65		9,55
2000г. за IV кв.	1406	56	173,72	104,15		114,1	4,15		14,1
2001г. за I кв.	1513	107	280,72	107,61		122,78	7,61		22,78
2001г. за II кв.	1635	122	402,72	108,06		132,68	8,06		32,68
2001г. за III кв.	1658	23	425,72	101,4		134,55	1,41		34,55
2001г. за IVкв.	1711	53	478,72	103,2		138,85	3,2		38,85
	11795,28

Рассчитаем средние показатели:

 =  = 1474,41 руб. – средний уровень;

 =  = 68,39 руб. – средний абсолютный прирост;

 =  =104,82 % – среднегодовой темп роста.

Рассчитанные аналитические показатели характеризуют состояние величины прожиточного минимума для трудоспособного населения по РФ на душу населения за 2000-2001 годы. Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость роста величины прожиточного минимуму, по сравнению с 2000 годом за I квартал она составила 1478,72 рублей. Темп роста показывает, что прожиточный минимум 2001 года за IV квартал составляет138,85% от уровня базисного 2000 за I квартал года. Темп прироста дает возможность оценить на сколько процентов величина прожиточного минимума в 2001 году возросла по сравнению с 2000 годом – 38,85 %.