Практическое занятие по теме «Определённый интеграл»
.docxПрактическое занятие по теме «Определённый интеграл»
Теоретические аспекты
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b]
c1 ci cn
X
a=x0 x1 … xi-1 xi … xn = b
ci ϵ [xi-1 ; xi] xi = xi – xi-1
Если интегральная сумма Sn имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на малые отрезки, ни от выбора точек в каждом из них,
Теорема 1 (Коши)
Теорема 2 (формула Ньютона-Лейбница)
Если f (x) - непрерывна на [a;b] и F(x) — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство:
Основные свойства:
Если y = f(x) интегрируема на [a;b], то
6о. (теорема о среднем)
Если f(x) непрерывна на [a;b], то существует такая точка c ϵ [a;b],что
8о. Если f1(x), f2(x)- непрерывны на [a;b] и f1(x) f2(x) на [a;b],
9о. (оценка интеграла)
Если m – наименьшее, M – наибольшее значения функции f(x) на [a;b],
11о. Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом
Геометрический смысл определённого интеграла
Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл
Физический смысл определённого интеграла
Пусть некоторая материальная точка M перемещается под действием силы F= F(x), которая направлена вдоль оси абсцисс (здесь x – абсцисса движущейся точки M).
Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F= F(x), действующей на отрезке [a;b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по
Методы интегрирования
-
Замена переменной
-
Интегрирование по частям
где u=u(x) , v=v(x) – непрерывны на [a, b]; du=u’(x)dx , dv=v’(x)dx
Несобственные интегралы
I рода (промежуток интегрирования бесконечен) :
II рода (на [a;b] существует точка c в которой f(c) имеет разрыв):
1. если точка разрыва - a (или b)
2. если c ϵ [a;b] - точка разрыва
Замечание: При этом несобственный интеграл называется сходящимся если предел конечен, и расходящемся если предел равен ∞ или не существует
Практические задания
№1 Вычислить определённый интеграл
№2 Вычислить определённый интеграл
№3 Вычислить определённый интеграл
№4 Вычислить несобственный интеграл (бесконечный интервал интегрирования)
№5 Вычислить несобственный интеграл (разрыв функции на интервале интегрирования)