Определения

Для описания предпочтений используют бинарные отношения, вводимые на множестве А сравниваемых объектов. В многокритериальной задаче роль таких объектов играют X или Y на множествах D и G соответственно.

Если из двух объектов a и b ЛПР выбирает a, то говорят, что a предпочтительнее b. Все пары вида (a,b), где a,bА, для которых a предпочтительнее b, образуют множество, называемое отношением строгого предпочтения на А. Такое отношение обозначают символом  (ab или aPb, где Р – первая буква английского слова preferance – предпочтение).

Объекты a и b неразличимы для ЛПР, если они одинаковы по предпочтительности. Это значит, что не выполняется ни отношение ab, ни ba. Множество всех неразличимых пар (a,b) называют отношением неразличимости или безразличия и обозначают символом ~ (a~b или aIb, где I происходит от indifference – безразличие).

О чевидно, что для любой пары a,b A выполняется только одно из трех соотношений: ab, ba, a~b. Объединение P и I дает отношение нестрогого предпочтения, обозначаемого символом (a b или aRb). Отношение a b означает, что a не менее предпочтительно, чем b.

В соответствии с этими определениями решение Х* D (вектор Y* G) называют оптимальным по отношению  на множестве D (G), если не существует другого решения Х D (вектора Y G), для которого справедливо соотношение ХХ* (YY*). Если для любых X D (Y G) выполняется соотношение X* X (Y* Y), то X* D (Y* G) называется оптимальным решением (вектором) по отношению .

При сравнении по предпочтительности векторов Y=f(X) наиболее просто сопоставлять те вектора, которые отличаются лишь одной компонентой. Однако в общем случае частные критерии y_i=f_i(X) могут по-разному соотноситься по предпочтительности в зависимости от того , на каких уровнях зафиксированы остальные критерии. Так если вектор ( , ) предпочтительнее вектора ( ), а вектор ( ) менее предпочтителен, чем ( ), то какое из значение первого критерия, или , предпочтительнее сказать нельзя без знания значений остальных критериев. Так, например, чем выше потолок комнаты, тем лучше, но справедливо это до определенных соотношений высоты, ширины и длины комнаты. Чаще, однако, все значения частного критерия можно упорядочить по предпочтению без учета значений других критериев. Такие критерии называют независимыми по предпочтению от остальных. Примерами могут служить прибыль, издержки и т.п.

Задачи, в которых все критерии независимы по предпочтению, а отношением строгого предпочтения R является отношение >= (не меньше) называются многокритериальными задачами максимизации (аналогично при отношении «не больше» – задачами минимизации).

Напомним, что R включает (объединяет) P и I. На множестве G (или D) отношение строгого порядка P задают неравенством Y Y’ ( т.е. Y Y’ и Y Y’ ) или Y>Y’ (т.е. для ). Наконец, равенство = порождает отношение безразличия.

Вектор (решение), оптимальный по отношению ≥ на множестве G (D), называется эффективным или парето-оптимальным. Значит, вектор Y^*G является парето-оптимальным (оптимумом Парето), если не существует вектор Y  G такой, что Y  Y^*. Множество таких векторов обозначают через Р(Y) и называют множеством Парето (эффективным множеством). Множество эффективных решений обозначают через Р(X).

Вектор, оптимальный по отношению >, называют слабо эффективным, слабо оптимальным по Парето (слабым оптимумом Парето). Значит, вектор Y^*G слабо парето оптимальный, если не существует YG такой, что Y>Y^*. Множество таких векторов называют слабо эффективным и обозначают через S(Y). Соответствующее множество слабо эффективных решений имеет обозначение S(X). Если в G не найдётся YY^*, то не существует и Y>Y^*. Следовательно, всякий эффективный вектор одновременно является и слабо эффективным, т.е. P(Y)S(Y). Аналогично P(X)  S(X).

Различие эффективного и слабо эффективного множеств хорошо видно на рис.10.3. Множество P(Y) состоит из частей границы множества G: кривых bc, de (исключая точки d и e ) и gh, а S(Y) – из кривой abcde (включая точку e) и кривой ghk. Точка d не входит в P(Y), т.к. она доминируется точкой c. Точно также точка e менее предпочтительна, чем g.

Геометрическое определение множеств P(Y) и S(Y) основано на том, что все точки YE^m, для которых выполняется неравенство YY⁰, образуют ортант (для m=2 – прямой угол), стороны которого параллельны координатным осям, а вершиной является точка Y⁰.

П оэтому, если весь угол (ортант), построенный на некоторой точке Y* G, расположен вне множества G, то Y* парето-оптимальна. Если кроме вершины Y* пересечение ортанта и G содержит только точки, лежащие на одной из сторон ортанта, то Y* слабо парето-оптимальна, при этом Y* P(Y), т.е. не является эффективной.

Понятие слабой эффективности оказывается полезным и в случае, когда приходится сокращать первоначальный набор критериев. Нередко на первых этапах исследования трудно определить минимально необходимый набор критериев и поэтому начинают с возможно более полного набора. По мере изучения свойств задачи выявляются несущественные критерии, которые исключаются из дальнейшего рассмотрения. В [30] показано, что множество слабо эффективных решений, выделяемое на полном наборе критериев, содержит все исходные решения, эффективные по сокращенному набору критериев.