2. Строение твердых тел

Кристаллы - это вещества, в которых составляющие их частицы (атомы, молекулы) расположены строго периодически, образуя геометрически закономерную кристаллическую структуру. Каждое кристаллическое вещество отличается от других кристаллических веществ по его атомной структуре. Вследствие закономерности и симметрии структуры кристаллы однородны и анизотропны. Кристалл называется однородным, если для любой точки, взятой внутри него, найдется точка, совершенно идентичная по свойствам первой и отстоящая от нее на некотором конечном расстоянии. Анизотропность - это зависимость свойств кристалла от направлений в кристалле. Идентичные точки (узлы), связанные с произвольно выбранной точкой тремя некомпланарными векторами переноса (трансляциями), образуют трехмерную периодическую решетку, охватывающую все пространство кристалла. Положение любой частицы в такой решетке определяется вектором . Векторы называются наименьшими векторами трансляции, а численные их величины – периодами трансляции.

Решетка, построенная путем параллельного переноса (трансляции) какого-либо узла по трем направлениям, называется трансляционной решеткой или решеткой Бравэ. Наименьший параллелепипед, построенный на векторах , называют элементарной ячейкой кристалла. Все элементарные ячейки, составляющие решетку, имеют одинаковые форму и объем. Элементарные ячейки, содержащие частицы только в вершинах, называют простыми, или примитивными. На каждую такую ячейку приходится одна частица.

Элементарные ячейки, содержащие частицы не только в вершинах, но и в других точках, называют сложными. Базисом ячейки называют совокупность координат узлов, приходящихся на элементарную ячейку. Координационным числом решетки называется число ближайших соседей, окружающих данный атом. Наиболее распространенные сложные ячейки: объемноцентрированные (ОЦ), базоцентрированные (БЦ) и гранецентрированные (ГЦ)

1.3. Динамика решетки

С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах - теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др. В твердом теле атомы при любой температуре, включая 0К, непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т.д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решетки. Число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно числу степеней свободы частиц кристалла, т.е. 3N (N- число частиц, образующих кристалл). Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн. Волна колебаний кристаллической решетки представляет собой повторяющуюся и систематическую последовательность смещений атомов из положений равновесия (продольных, поперечных или некоторых их комбинаций), которая характеризуется следующими параметрами:

- скоростью распространения ;

- длиной волны  или волновым вектором | | = 2/;

- частотой  или угловой частотой  = 2=  .

Самая короткая длина волны, которая может образовываться в одномерной цепочке атомов, равна удвоенному расстоянию между атомами цепочки:

_min = 2а.

Ей отвечает максимальная частота, связанная с длиной волны следующим соотношением: .  - скорость распространения волн (звука) в цепочке.

Квант энергии упругой волны называется фононом. Фононы описываются той же функцией распределения Бозе-Эйнштейна, что и фотоны:

.

Кривые, выражающие зависимость частоты колебаний от волного вектора (длины волны), называются дисперсионными кривыми. Рассматривая колебания в решетке, состоящей из одинаковых атомов,

при учете взаимодействия только с ближайшими соседями дисперсионное уравнение запишется таким образом:

где М - масса атома, С₁ - силовая постоянная, а - параметр решетки. Знаки плюс и минус отвечают волнам, распространяющимся в противоположных направлениях. В случае, когда ka << 1, sin(ka/2)  ka/2. Тогда   ₀k , где ₀ = а(М/m)^1/2. Область k-пространства, для которой образует первую зону Бриллюэна. В области больших длин волн или низких частот дисперсия отсутствует, так что фазовая скорость /k и групповая скорость совпадают и оказываются равными скорости звука ₀ (₀5000 м/с). Групповая скорость - это скорость переноса энергии в среде. Из дисперсионного уравнения групповая скорость равна

. На краю зоны Бриллюэна групповая скорость равна нулю (стоячая волна).