4.Приближенные вычисления

Пусть, требуется вычислить приближенное значение функции

f (х) = х⁷ - 2х⁶ + 3х² - х + 3 в т. х = 2,02. Значение f в близкой к 2,02 точке х₀ = 2 находит­ся легко: f(2) = 13. График f в окрестности точки 2 близок к пря­мой у = f (х₀) + f '(х₀) (х - х₀) — касательной к нему в точке с абс­циссой 2. Поэтому f (2,02) ≈ у (2,02). Имеем f '(х) = 7х⁶ - 12х⁵ + 6х - 1, f '(х₀) = f '(2) = 75 и f (х) ≈ у (х) = 13 + 75• 0,02 = 14,5.

Вычисления на калькуляторе дают результат f (2,02)≈ 14,57995.

Вообще для дифференцируемой в т. х₀ функции f при ∆х, мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой х₀ ), т. е. при малых ∆х

f(x)≈ f(x₀)+ f '(x₀)∆x (1)

Если т. х₀ такова, что значения f (х₀) и f '(х₀) нетрудно вычислить, то формула (1) позволяет находить приближенные зна­чения f (х) при х, достаточно близких к х₀. Так, при вычислении значения естественно взять в качестве х₀ число 4, т.к.4,08 близко к 4 и значения f (x₀) = и f ' (х₀) = при х₀ = 4 найти нетрудно: f(4) = = 2, f ' (4) = = . По (1) при ∆х= 0,08 получаем:

≈2+ ∙0,08 =2,02.

Пр1. Выведем из ф. (1) приближенную формулу ≈ (2)

Возьмем f (х) = , х₀ = 1 и x = х₀ + ∆х = 1 + ∆х. Имеем

f(x₀) = =1 и f'(x) = , откудa f'(x₀) = f'( 1) = . По ф(1)

f(x) =

В частности, = ≈ .

Значение также можно найти по формуле (2):

= ≈2(1+ )= 2,02.

Пр 2. Выведем из ф (1) приближенную фор­мулу

(1 + ∆х)ⁿ ≈ 1 + n∆х. (3)

Полагаем f(x) = xⁿ, х₀ = 1 и x = х₀ +∆х = 1 + ∆х. Находим f(х₀) = 1, f '(х) = пх^n-1, откуда f '(х₀) =n . По ф. (1) f (х) = (1 + ∆х)ⁿ ≈1 + п∆х.

Н-р, 1,001¹⁰⁰ = (1 + 0,001)¹⁰⁰ 1 + 100 • 0,001 = 1,1. Значение 1,001¹⁰⁰, вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512.

5.Доказательство неравенств

Док-ть cos x>1- при x>0

Док-во: рассмотрим фун-ю у(х)= cos x-1+ , замечаем, что у(0)= cos 0-1+ =0 (Находим значение в крайних точках, здесь в 0, т.к. x>0). у'(х)= -sin x -0+ -sin x+x=x-sin x >0 при x>0. (См. рис1.) T.е. у'(х) >0 при x>0 => у(х) ↗ при x>0. Получаем (См. рис2.): у(0)=0, у(х) ↗при x>0 => у(х) >0 при x>0 => cos x-1+ >0 при x>0. cos x>1- при x>0

рис1 рис2

Итоги: 1.ввести функцию

2.если дан промежуток взять крайнее его значение и подставить

3.найти производную, определить знак, делаем вывод ↗или↘

4.возвращаемся к начальному примеру

6.Нахождение числа корней уравнения

Найдем число корней уравнения 2х³ - 3х² - 12х – 11=0

Рассмотрим функцию f(x) = 2х³ - 3х² - 12х -11. D (f) = (-∞;∞). Для отыскания критических точек функции f найдем f'(x): f'(x) = 6х² - 6х - 12. f'(x)=0 в точках х = -1 и х = 2. Заполним таблицу:

x	(-∞, -1)	-1	(-1; 2)	2	(2; ∞)
f' (x)	+	0	-	0	+
f (х)	↗	-4	↘	-31	↗
		max		min

На (-∞;-1] ф-я возрастает от -∞ до -4, поэтому на этом пром-ке ур-е f (х) = 0 корней не имеет. На [-1; 2] ур-е не имеет корней, т.к. на этом пром-е f убывает от -4 до -31. На [2; ∞) функция f возрастает от -31 до ∞, на этом пром-е ур-е f (х) = 0 имеет один корень (по теоре­ме о корне: Пусть фун-я возрастает(убыв.) на пром-ке I, число а-любое из значений, принимаемых f на этом пром-ке.Тогда ур-е f(x)=a имеет единств-й корень в пром-ке I). Итак, ур-е 2х³ - 3х² - 12х – 11=0 имеет один корень, и этот корень принадлежит интервалу (2; +∞).