Лекція. Тема. Вступ в математичний аналіз.

План.

1. Функція: основні означення.

2. Основні елементарні функції з графіками. Елементарна функція.

3. Монотонність, обмеженість, парність, періодичність функції.

4. Числова послідовність. Окіл точки. Границя послідовності.

5. Властивості границь послідовностей.

6. Ряди.

7. Означення границі функції.

8. Властивості границь функцій.

9. Перша і друга цікаві границі.

10. Неперервність функції.

11. Точки розриву та їх класифікація.

Д.з.: Б-Н 11а,б,14-18,20-26,34-36,42,44а-з,45-47а,б,49,50,52,53,55,56,59.

Означення. Нехай є дві множини Х і У. Функцією або відображенням з множини Х в множину У називається такий закон (таке правило), що кожному елементу х з Х ставить у відповідність один елемент у із У.

Позначається , . х – називається аргументом, у – називається значенням функції. Також у – називається образом х, а х – прообразом у. Множина Х називається областю визначення функції.

Якщо , то функція називається функцією дійсного аргументу. Якщо , то функція називається дійсною. Ми розглядатимемо спочатку дійсні функції дійсного аргументу, тобто і і .

Графік функції – це множина точок декартової системи координат на площині (х, у), де х є Х, а у= .

Якщо область визначення не задана, то нею вважають область всіх допустимих значень аргументу, яку позначають D(f).

Приклад. у=lg x D(f)=X=(0; + ).

Множина всіх у із У, які є образами х із Х називається областю значень функції і позначається Е(f).

Основні елементарні функції та їх графіки:

• y =c

стала функція с

• степенева з натуральним показником

у=х, n=1 n – парне n – непарне

• = , – степенева з дробовим показником

k – парне k – непарне

• – показникова

a>0,

a>1 0<a<1

1 1

Важливий частковий випадок , .

• -- логарифмічна

a>0,

В ажливий частковий випадок

a>1 0<a<1

1 1

• Тригонометричні функції

0

О бернені функції до тригонометричних

.

- 1 1

-1 1

Означення. Нехай є дві функції і . Тоді функція, що діє по закону h=g(f(x)), тобто , називається складною функцією, або суперпозицією функцій f та g. Тут f(x) – називається внутрішньою функцією, а g(x) – зовнішньою.

Приклад. y=ln (sin x) – складна функція, побудована з функцій sin x та ln x, y=sin x – внутрішня функція, y=ln x – зовнішня.

Можна будувати суперпозицію також із трьох та більше функцій.

Приклад. , і т. п.

Означення. Нехай задана функція у= f(х), х є Х, що є взаємно однозначним відображенням із множини Х в множину У (тобто, крім того, що кожному

х є Х відповідає один образ у є У, ще й навпаки, для кожного у є У існує один прообраз х є Х). Тоді таке відображення, що кожному у є У ставить у відповідність його прообраз х є Х, називається оберненою функцією до функції f і позначається .

Якщо y=f(x), x є Х то х= (у), у є У. Тоді i .

Приклади. До функції y=sin x, y=arcsin x i sin(arcsin x)=x, і якщо , то arcsin(sin x)=x.

, .

Функції також можна додавати, віднімати, множити і ділити.

Означення. Функція, побудована з основних елементарних функцій з допомогою скінченної кількості дій додавання, віднімання, множення та суперпозиції називається елементарною функцією.

Приклад. .

Монотонні функції

О значення. Нехай . Якщо для будь-яких , таких що для відповідних значень функції виконується нерівність

• то f називається зростаючою на множині А. Познач. f на А;

• то f називається спадною на множині А. Познач. f на А;

• то f називається строго зростаючою на множині А;

• то f називається строго спадною на множині А.

Якщо функція не змінює свого характеру на множині А, тобто, завжди зростає на А або завжди спадає на А, то вона називається монотонною на А.

Приклад. y=ln x зростає на (0; + ). Вона також є монотонна на (0; + ).

Обмежені функції

Означення. Нехай . Функція f називається

• обмеженою зверху на А, якщо існує число М, таке що для всіх ;

• обмеженою знизу на А, якщо існує число m, таке що для всіх ;

• обмеженою на А, якщо обмежена зверху і знизу на А, тобто, існують числа М,m, такі що для всіх ;

Можна ще так: функція обмежена на А, якщо існує число С, таке що для всіх .

Приклади. обмежена знизу на , але необмежена зверху на . обмежена на [-10;10].

y=sin x обмежена на .

Парні та періодичні функції

Означення. Якщо область визначення функції f є симетричною відносно точки 0 і

для всіх то функція f називається парною.

Якщо область визначення функції f є симетричною відносно точки 0 і

для всіх то функція f називається непарною.

В інших випадках кажуть, що функція не є ні парною ні непарною, або функція загального вигляду.

Г рафік парної функції є симетричним відносно осі Ох, а непарної – симетричним відносно точки О – початку координат.

парна функція непарна функція.

Означення. Якщо область визначення функції f є періодичною, тобто, для деякого

числа Т>0 якщо х є Х, то х+Т є Х і х-Т є Х і виконується f(x+T)=f(x) для всіх

х є Х, то функція f називається періодичною. Число Т називається періодом.

Найменший додатній період називається основним періодом.

Графік періодичної функції періодично повторюється через проміжок Т.

Приклади. y=sin x, y=tg x – періодичні функції.

y=ln(x-5) – неперіодична, бо її область визначення: x-5>0, x>5, – не є періодичною. Її область визначення також не є симетричною відносно точки 0, тому ця функція ні парна ні непарна, загального вигляду.